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Mathematische Theorie der Diffraction. (German) JFM 27.0706.03

Die allgemeine Problemstellung der Theorie hat der Verf. bereits in einer früheren Arbeit erörtert (cf. F. d. M. 25, 1621, 1893-1894, JFM 25.1621.01). Hier wird die Aufgabe zunächst dadurch specialisirt, dass die Zustände von der \(z\)-Coordinate unabhängig angenommen werden. An Stelle des leuchtenden Punktes tritt dann eine der \(z\)-Axe parallele Gerade, und auch der Schirm wird durch Parallelen zur \(z\)-Axe begrenzt, der Riemann’sche Doppelraum aber reducirt sich auf eine Riemann’sche Fläche. Die exacte Lösung des specialisirten Beugungsproblems führt daher auf die Aufgabe, die Differentialgleichung \[ (1) \quad \frac {\partial^2u}{\partial x^2} + \frac {\partial^2u}{\partial y^2} + k^2u = 0 \] auf einer Riemann’schen Fläche zu integriren. Der Lösung dieser Aufgabe wird die Betrachtung derjenigen Reihen vorangeschickt, welche der Gleichung (1) genügen und den Potenzreihen der Potentialtheorie entsprechen. Es sind das Reihen der Form: \[ (2) \quad \sum_m J_{\tfrac mn} (kr) \left\{\alpha_m\,\cos\left(\tfrac mn \;\varphi\right) + \beta_m\,\sin \left(\tfrac mn \;\varphi \right)\right\}\,, \] wo \(J_{\tfrac mn}\) die Bessel’sche Function erster Art ist und die gegebene Zahl \(n\) eventuell den Wert 1 haben kann. Von diesen Reihen wird gezeigt, dass sie gerade soweit convergent sind wie die entsprechenden Potenzreihen \[ (2^\prime) \quad \sum_m r^{\tfrac mn} \left\{\alpha_m\,\cos\left(\tfrac mn \;\varphi\right) + \beta_m\,\sin \left(\tfrac mn \;\varphi\right)\right\}\,, \] die der Gleichung (1) für den Fall \(k = 0\) genügen. Dasselbe gilt von der Reihe, die aus (2) entsteht, wenn die Function \[ (3) \quad U_{\frac mn} (x) = K_{\frac mn} (x) - \frac {i\pi}{2} \;J_{\frac mn} (x) \] an Stelle von \(J_{\frac mn} (x)\) tritt [\(K\) die Bessel’sche Function zweiter Art], und die nicht nur formal, sondern auch hinsichtlich der Convergenz einer Reihe entspricht, die nach Potenzen von \(1/r\) fortschreitet. Trotzdem ist die Analogie zwischen den letztgenannten Reihen keine vollständige mehr, da die Aufgabe, eine Function \(u\), welche auf einem Kreise gegeben ist, ausserhalb dieses Kreises gemäss (1) fortzusetzen, unbestimmt ist. Man muss hier das Unendliche durch einen zweiten Kreis ausschliessen und für den so entstehenden Kreisring eine Entwickelung suchen, die sich aus einer nach den Functionen \(J\) und einer nach den Functionen \(U\) fortschreitenden Reihe zusammensetzt.
Während sich hiernach die Methode der Potenzreihen aus der Functionentheorie bei der Gleichung (1) mit geeigneten Modificationen aufrecht erhalten lässt, versagt die Methode der algebraischen Berechnung verzweigter Lösungen. Doch lässt sich ein Verfahren angeben, durch welches man aus einer Lösung der Gleichung \(\varDelta u = 0\) mit gewissen Eigenschaften eine Lösung von (1) mit entsprechenden Eigenschaften herleiten kann. Dazu gehe man von einer beliebigen complexen Function \(f(Z)\) aus und beziehe die \(Z\)-Ebene stereographisch auf die Kugel \(\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = 1\), so erhält man die Function \(f\left(\frac {\xi + i\eta}{\zeta + 1}\right)\), die ein zweidimensionales Potential auf der Einheitskugel darstellt. Von diesem gehe man zu dem entsprechenden räumlichen Potential über, indem man an Stelle von 1 setzt \(\varrho = \sqrt {\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2}\). Dadurch hat man eine räumliche Kugelfunction vom Grade 0 erhalten, und man leitet daraus räumliche Kugelfunctionen anderer Grade ab, indem man mit \(1/\varrho\) multiplicirt und \(m\)-mal nach \(\zeta\) differentiirt. Das Resultat wird in Form eines geschlossenen complexen Integrals dargestellt und zu diesem, um den Verzweigungspunkt \(\varrho = 0\) fortzuschaffen, ein analoges hinzugefügt, das \(-\varrho\) an Stelle von \(\varrho\) enthält. Auf die so gewonnene Function wird folgender Grenzübergang angewandt. Man setze \[ \xi = kx/m, \quad \eta = ky/m, \quad \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = 1 \] und lasse \(m\) ins Unendliche wachsen, während \(x, y\) endlich bleiben. Dann geht die Differentialgleichung der Kugelfunction in die Gleichung (1) über, und falls man noch Polarcoordinaten \(r\), \(\varphi\) an Stelle von \(x\), \(y\) einführt, geht die Summe der vorher erwähnten Integrale über in: \[ (4) \quad \frac {1}{2\pi} \int \left\{f\left[e^{i(\varphi - \alpha - \tfrac \pi 2)}\right] - f\left[e^{i(\varphi + \alpha - \tfrac \pi 2)}\right]\right\}e^{ikr\,\cos\,\alpha}d\alpha\,; \] Anfangs- und Endpunkt der Integration können sich darin um \(2\pi\) unterscheiden. Das Verfahren liefert zunächst nur solche Functionen, welche Verzweigungen und Unstetigkeitsstellen im Endlichen allein an der Stelle \(x = 0\), \(y = 0\) besitzen.
Durch das beschriebene Verfahren lassen sich zunächst die Bessel’schen Functionen erster und zweiter Art herleiten, indem man \(f(Z) = Z^r\) setzt; je nach dem Integrationswege, den man in der Ebene der Variablen \(\alpha\) benutzt, entstehen die Functionen \(e^{i\nu\varphi} J_\nu (kr)\), resp. \(e^{i\nu\varphi} U_\nu(kr)\). Setzt man aber \(f(Z) = \frac {1/n}{1 - (Z/Z^\prime)^{\frac 1n}}\), wo \(Z'\) einen festen Punkt des Einheitskreises bezeichnet, so ergiebt sich die Function \[ (5) \quad u = \frac {1}{2\pi in} \int \frac {\sin (\alpha/n)e^{ikr\,\cos\,\alpha}d\alpha}{\cos (\alpha/n) - \cos ((\varphi - \varphi^\prime)/n)}\,, \] ein Resultat, das der Verf. schon in einer früheren Arbeit mitgeteilt hatte (cf. F. d. M. 26, 396, 1895; JFM 26.0396.01). Betreffs des Integrationsweges von (5) ist Folgendes zu bemerken. In der Ebene \(\alpha\) betrachte man die beiden Streifen, in denen der reelle Teil von \(\alpha\) zwischen \(-\pi\) und 0, resp. zwischen \(\pi\) und \(2\pi\) liegt, während der imaginäre Bestandteil von 0 bis \(+ \infty\) variirt. Dann beginnt die Integration im Unendlichen des ersten Streifens und endet im Unendlichen des zweiten. Die Punkte \(\alpha = \pm (\varphi - \varphi')\) liegen ausserhalb des von dem Integrationswege eingeschlossenen Gebietes. Die vorstehende Function \(u\) hat folgende Eigenschaften: a) sie genügt der Gleichung (1); b) sie ist auf der \(n\)-blättrigen Riemann’schen Fläche eindeutig; c) sie ist für alle endlichen Werte von \(r\) endlich; d) im Unendlichen des ersten Blattes wird: \[ (5^{\text{a}}) \quad u = u_0 = e^{ikr\,\cos (\varphi - \varphi^\prime)}, \] im Unendlichen aller übrigen Blätter verschwindet \(u\). Die Function \(u\) stellt die Bewegung einer in der Richtung \(\varphi = \varphi'\) auf der Riemann’schen Fläche einfallenden Lichtwelle dar. Sie hat an die Stelle von \(u_0\) (cf. \(5^{\text{a}}\)) bei allen denjenigen zweidimensionalen optischen Problemen zu treten, welche ihrer Natur nach nicht zu einer in der schlichten Ebene, sondern zu einer auf der \(n\)-blättrigen Riemann’schen Fläche eindeutigen Function Anlass geben. Für eine Windungsfläche von unendlich hoher Ordnungszahl erhält man die entsprechende Function \(u'\), wenn man in (5) zur Grenze \(n = \infty\) übergeht. Uebrigens lässt sich \(u\) auch leicht in einer Reihe der Form (2) entwickeln.
Weiter werden solche Lösungen von (2) aufgesucht, welche in einem vorgeschriebenen Punkte \(r'\), \(\varphi'\) unendlich werden wie \(\log(1/R)\) für \(R = 0\). Diese Lösungen \(U\) haben dieselbe Form wie \(u\) in (5), nur dass an Stelle von \(e^{ikr\,\cos\,a}\) der Ausdruck \(U_0(kR')\) tritt, in dem \(R^{\prime 2} = r^2 + r^{\prime 2} - 2rr^\prime\,\cos\,\alpha\) ist, während \(U_0\) die durch (3) definirte Bessel’sche Function zweiter Art ist. Mit Ausnahme des Poles \(r'\), \(\varphi'\), dessen Rolle man mit der des variabeln Punktes vertauschen kann, hat \(U\) analoge Eigenschaften wie vorher \(u\), nur dass \(U\) im Unendlichen verschwindet. Die Function \(U\) stellt eine Lichtbewegung auf der Riemann’schen Fläche dar, welche ein im Punkte \(r'\), \(\varphi'\) vorhandener leuchtender Punkt hervorruft. Sie tritt an die Stelle von \(U_0\) in solchen optischen Problemen, die mit ihren Fortsetzungen erst auf der \(n\)-blättrigen Riemann’schen Fläche eindeutig sind. Auch für \(U\) lässt sich eine nach den Cosinus der Vielfachen von \((\varphi - \varphi')/n\) fortschreitende Reihe aufstellen, deren Coefficienten \(\frac 2n \;J_{\frac mn} (kr^\prime) U_{\frac mn} (Rr)\) sind.
Nach diesen allgemeinen Vorbereitungen geht der Verf. zu dem für die Optik wichtigsten Falle \(n = 2\) über. Um hier ein klares Bild von dem Verlauf der mehrdeutigen Lösungen zu erhalten und die für die numerische Rechnung geeigneten Formeln bereit zu stellen, wird das Integral (5) in ein Integral mit reellem Integrationswege umgeformt, wobei noch zur Abkürzung \(\varphi - \varphi' = \psi\) gesetzt wird; letzteres Integral lässt sich dann in eine semiconvergente Reihe entwickeln, deren erstes Glied zur angenäherten Berechnung genügt. Für die beiden Blätter findet man, wenn \(\lambda = 2\pi /k\) die Wellenlänge bedeutet, die angenäherten Werte: \[ (6) \quad u_2 = - \sqrt {\tfrac \lambda r} \;\frac {e^{- \frac {2\pi ir}{\lambda} - \frac {i\pi}{4}}}{4\pi \,\cos \;\tfrac \psi 2} \,, \quad u_1 = u_0 - u_2 = e^{\frac {2\pi ir}{\lambda} \cos\,\psi} - u_2\,. \] Doch gelten diese Näherungsformeln nur, wenn das zweite Glied der Entwickelung \(< \frac 12\, \varepsilon\) ist (\(\varepsilon\) ist der vorgeschriebene Grad der Genauigkeit); und das ist nur für die Punkte ausserhalb einer gewissen Parabel der Fall. Für die Punkte innerhalb der Parabel ist die Bedingung nicht erfüllt; das Gebiet dieser Punkte bildet den “Uebergangsstreifen”. Es werden ferner noch die Nulllinien der Function untersucht und graphisch dargestellt.
Endlich werden im letzten Paragraphen alle gewonnenen Ergebnisse auf das einfachste Beugungsproblem angewandt, bei dem ein unendlich dünner, vollkommen undurchsichtiger, geradlinig begrenzter ebener Schirm \(S\) vorhanden ist, dessen Kante die \(z\)-Axe bildet. Mit Poincaré wird der Zustand \(Z\) in zwei einfachere zerlegt, nämlich a) die elektrische, b) die magnetische Schwingung. Beide \(Z\) genügen der Gleichung (1), während längs des Schirmes \(S\) im Falle a) \(Z = 0\), im Falle b) \(\partial Z/\partial n = 0\) ist. Eine überall endliche Lösung des Problems ist, wenn \(u\) die Function (5) darstellt: \[ Z = u(\varphi^\prime) - u(- \varphi^\prime) \text{ im Falle a})\,, \]
\[ Z = u(\varphi^\prime) + u(-\varphi^\prime) \text{ im Falle b})\,. \] Die von dem Schirm hervorgerufenen Beugungserscheinungen sind also weiter nichts als “Interferenzerscheinungen” zwischen den Wellenbewegungen \(u(\varphi')\) und \(u(-\varphi')\), von denen die eine in der Richtung \(\varphi - \varphi'\) des physikalischen, die andere in der Richtung \(\varphi = -\varphi'\) des Hülfsblattes der Riemann’schen Fläche einfällt.
Den früheren Untersuchungen der einzelnen Wellen ist jetzt eine weitere hinzuzufügen betreffs des Effectes der Superposition von zwei solchen Wellen. Zu dem Zwecke werden die Halbstrahlen \(\varphi' + \pi\) und \(- \varphi' + \pi\), deren erster die Grenze des geometrischen Schattens darstellt, markirt und die Uebergangsstreifen \(S_1\) und \(S_2\) abgesondert, welche die genannten Halbstrahlen zu Axen haben. Nach Absonderung dieser Streifen zerfällt die \(xy\)-Ebene in drei Gebiete, auf deren jedes die für die Function \(u\) gefundenen Näherungsformeln angewandt werden; es ergeben sich so Formeln, die im wesentlichen mit den von Poincaré aus einer ganz anderen Problemstellung abgeleiteten (Acta Math. 16, cf. F. d. M. 24, 999, 1892, JFM 24.0999.01) übereinstimmen. Doch fehlt bei Poincaré ein Kriterium für den Gültigkeitsbereich; auch wird die Schwierigkeit, dass sich bei Poincaré in den vorher erwähnten Halbstrahlen Unendlichkeitsstellen ergeben, hier durch Einführung der Uebergangsstreifen erledigt. Von den Folgerungen, die sich aus den Formeln ergeben, sei hier nur folgende erwähnt. Von dem Windungspunkte \(r = 0\) aus pflanzen sich nach allen Seiten innerhalb des Gebietes des geometrischen Schattens Strahlen in der Richtung des Radiusvectors fort, gerade so, als ob der Windungspunkt ein leuchtender Punkt wäre.
Zum Schluss wird auch das Innere der Uebergangsstreifen betrachtet. Hier gelten nicht mehr die Näherungsformeln, man muss vielmehr auf die exacte Formel (5) recurriren. Das dort auftretende Integral lässt sich durch die von Kirchhoff in der Diffractionstheorie benutzten Functionen darstellen, und damit lässt sich auch die Intensität durch jene Functionen ausdrücken. Vergleicht man die Intensitätsformel mit der Kirchhoff’schen, so zeigt sich, dass letztere den wahren Wert der Intensität in allen denjenigen Punkten mit genügender Genauigkeit wiedergiebt, welche 1) genügend nahe an der Schattengrenze liegen und 2) genügend weit von dem Windungspunkte entfernt sind. Das Gültigkeitsgebiet der Kirchhoff’schen Formeln ist hiernach nur ein sehr kleines; ausserhalb desselben werden sie merklich falsch.

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References:

[1] Zur mathematischen Theorie der Beugungserscheinungen. Göttinger Nachr. 1894. Nr. 4.
[2] Sur la polarisation par diffraction. Acta Math. Bd. 16. · JFM 28.0746.02
[3] Diese Reihen sind nach ihrer formalen Seite bereits in dem mehrfach zu citirenden Buche von F. Pockels: Ueber dïe partielle Differentialgleichung ?u+k 2u=0, Leipzig 1891, aufgestellt. Vgl. Theil IV § 6.
[4] Vgl. F. Pockels: l. c. Ueber dïe partielle Differentialgleichung ?u+k 2u=0, Leipzig 1891, aufgestellt. Vgl. Theil IV § 6 pag. 214.
[5] Vgl. F. Pockels: Ueber dïe partielle Differentialgleichung ?u+k 2u=0, Leipzig 1891, aufgestellt., l. c. pag. 214.
[6] Vgl. F. Pockels: Ueber dïe partielle Differentialgleichung ?u+k 2u=0, Leipzig 1891, aufgestellt. l. c. pag. 37 und pag. 222.
[7] C. Neumann: Theorie der Bessel’schen Functionen, Leipzig 1867, § 13. · JFM 01.0139.02
[8] Heine, Handbuch der Kugelfunctionen: 2. Aufl. § 61. Gl. 44c).
[9] Vgl. Maxwell in seinem Treatise Cap. IX.
[10] Vgl. F. Pockels Ueber dïe partielle Differentialgleichung ?u+k 2u=0, Leipzig 1891, aufgestellt. l. c. pag. 31.
[11] Vergl. Heine, Handbuch der Kugelfunctionen: 2. Aufl. § 61. Gl. l.c. § 9, Gl. 5a.
[12] Heine, Handbuch der Kugelfunctionen: 2. Aufl. § 61. Gl. l. c. Gl. (43, a).
[13] Vergl. Hankel: Cylinderfunctionen erster und zweiter Art, § 1, Math. Ann. Bd. I.
[14] l. c. Vergl. Hankel: Cylinderfunctionen erster und zweiter Art, § 1, Math. Ann. Bd. I. Gleichung (14b).
[15] Vgl. H. Hankel: Cylinderfunctionen erster und zweiter Art. Math. Ann. Bd. I, § 6.
[16] Vgl. F. Pockels: Ueber dïe partielle Differentialgleichung ?u=k 2u=0, Leipzig 1891, aufgestellt. l. c. p. 283, wo die entsprechende Eigenschaft für ?Green’sche Functionen? von beliebigen begrenzten Gebieten ausgesprochen ist.
[17] H. Hankel: Handbuch der Kugelfunctionen: 2. Aufl. § 61. Gl. 44c l. c.
[18] Ueber die Bedeutung dieser abgekürzten Ausdrucksweise vgl. die Anm. auf pag. 346.
[19] Poincaré: Sur la polarisation par diffraction, Acta Math. B. 16, § 1.
[20] Poincaré: Sur la polarisation par diffraction, Acta Math. B. 16, § 1. l. c. p. 318. · JFM 28.0746.02
[21] l. c. Poincaré: Sur la polarisation par diffraction, Acta Math. B. 16, pag. 314.
[22] Kirchhoff: Math. Optik, 7te Vorlesung § 3.
[23] Vgl. Wiedemann’s Annalen 49, 1893.
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