Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. Art. II. (German) JFM 28.0061.08

Cantor, G.

Math. Ann. 49, 207-246 (1897).

Ueber den ersten Artikel (Math. Ann. 46, 481-512) wurde in F. d. M. 26, 81, 1895 (siehe JFM 26.0081.01) berichtet. Nachdem die wohl geordneten Mengen definirt und ihre Haupteigenschaften aufgestellt sind (§12), führt der Verf. (§13) den Begriff ,,Abschnitt” einer wohl geordneten Menge ein, womit er die durch sämtliche einem bestimmten Elemente derselben vorangehende Elemente gebildete wohl geordnete Menge versteht. Die Sätze über Abschnitte sind sehr wichtig und geben zu ebenso vielen Sätzen über Ordnungszahlen (Ordnungstypen wohl geordneter Mengen) Anlass (§14), von welchen die folgenden hier angeführt werden mögen:
Sind \(\alpha\) und \(\beta\) zwei Ordnungszahlen, so ist entweder \(\alpha = \beta\) oder \(\alpha<\beta\) oder \(\alpha>\beta\).
Die Summe und das Product zweier Ordnungszahlen sind Ordnungszahlen.
Die folgenden Paragraphen (§§15-20) sind der Untersuchung der Ordnungszahlen der zweiten Zahlenklasse \(Z(\aleph_0)\) (Ordnungszahlen abzählbarer Mengen) gewidmet. Das Hauptergebnis dieser Untersuchung ist, das die als Inbegriff der Ordnungstypen abzählbarer wohl geordneter Mengen definirte zweite Zahlenklasse \(Z(\aleph_0)\) mit der durch die zwei ,,Erzeugungsprincipe” und das ,,Hemmungsprincip” (siehe G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre. Leipzig, Teubner 1883) gebildeten Klasse (II) vollkommen übereinstimmt; ein Resultat, welches schon lange (a. a. O. S. 5-6) von G. Cantor, wenn auch mit anderen Worten ausgesprochen, aber noch nicht bewiesen wurde. Jede Zahl \(\alpha\) der zweiten Klasse lässt sich, auf eine einzige Weise, auf die Form \(\alpha = \omega^{\alpha_0}k_0 + \omega^{\alpha_1}k_1 + \cdots + \omega^{\alpha_t}k_t\) bringen, wo \(\omega\) bekanntlich die Ordnungszahl der natürlichen Zahlenreihe bezeichnet, \(\alpha_0,\,\alpha_1,\,\cdots,\,\alpha_t\) endliche oder der zweiten Klasse angehörige Zahlen sind, die den Bedingungen \(\alpha_0>\alpha_1>\cdots>\alpha_t\geqq0\) genügen, während \(k_0,\,k_1,\,\cdots\,,k_t,\,t+1\) von Null verschiedene endliche Zahlen sind. Den Schluss des Artikels bildet die Untersuchung derjenigen Zahlen (als ,,\(\varepsilon\)-Zahlen” bezeichnet) der zweiten Zahlenklasse, welche Wurzeln der Gleichung \(\omega^x=x\) sind.

Reviewer: Vivanti, Prof. (Messina)

JFM Section:

Erster Abschnitt. Geschichte und Philosophie. Kapitel 2. Philosophie und Pädagogik. A. Philosophie.

Citations:

JFM 26.0081.01

References:

[1]	Es stimmt diese Definition der ?wohlgeordneten Menge?, abgesehen vom Wortlaut, durchaus mit derjenigen überein, welche in Bd. XXI der Math. Ann. pag. 548 (Grundlagen e. allg. Mannigfaltigkeitslehre pag. 4) eingeführt wurde.