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Ueber Gruppen, deren sämtliche Teiler Normalteiler sind. (German) JFM 28.0129.03
Die vorliegende Untersuchung ist durch die Frage nach allen denjenigen endlichen Zahlkörpern veranlasst, deren sämtliche Divisoren Normalkörper sind. Ist \(R\) die Gruppe aller Permutationen \(\varphi\) eines Normalkörpers \(\Omega\), so gehört bekanntlich zu jeder Gruppe \(S\), welche ein Teiler von \(R\) ist, ein bestimmter Körper \(\Omega'\), nämlich der Inbegriff aller derjenigen Zahlen in \(\Omega\), welche durch jede Permutation der Gruppe \(S\) in sich selbst übergehen, und umgekehrt gehört jeder Divisor von \(\Omega\), d. h. jeder in \(\Omega\) enthaltene Körper \(\Omega'\), zu einer bestimmten in \(R\) als Teiler enthaltenen Gruppe \(S\); die Bedingung aber, dass \(\Omega'\) wieder ein Normalkörper ist, besteht darin, dass \(S\) ein Normalteiler, d. i. ein ,,ausgezeichneter” oder ,,invarianter” oder ,,eigentlicher” Teiler von \(R\), also immer \(\varphi^{-1}S\varphi=S\), \(S\varphi=\varphi S\) ist, wo \(\varphi\) jedes beliebige Element der Gruppe \(R\) bedeutet. Der auf die Gruppentheorie bezügliche Teil der obigen Frage kommt daher auf die Aufgabe zurück, die allgemeinste Form der Gruppe \(R\) zu finden, deren sämtliche Teiler \(S\) Normalteiler von \(R\) sind. Zu diesen Gruppen gehören offenbar alle Abel’schen, d. h. diejenigen Gruppen, deren Elemente mit einander permutabel sind; ihr Bau wird vom Verf. als hinreichend bekannt vorausgesetzt, und es handelt sich daher nur noch um die Form der nicht Abel’schen Gruppen \(R\), welche der Verf. Hamilton’sche Gruppen nennt. Die einfachste und kleinste solche Gruppe \(R\) ist nämlich diejenige Gruppe achten Grades, welche sechs verschiedene Elemente vierten Grades enthält, und welche vom Verf. wegen ihrer innigen Beziehungen zu Hamilton ’s berühmter Zahlenschöpfung die Quaterniongruppe \(Q\) genannt wird. Sodann ergiebt sich das durch seine enge Umgrenzung überraschende Resultat, dass die allgemeinste Hamilton’sche Gruppe die Form \(R=PQ\) besitzt, wo \(P\) die Abel’sche Gruppe aller derjenigen Elemente in \(R\) bedeutet, welche mit jedem Element von \(R\) permutabel sind; diese Gruppe \(P\) unterliegt nur den beiden Bedingungen, dass sie kein einziges Element vierten Grades, wohl aber das in der Quaterniongruppe \(Q\) befindliche Element zweiten Grades enthält.

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