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Allgemeine Lehrsätze über die convexen Polyeder. (German) JFM 28.0427.01
Hauptzweck der vorliegenden Arbeit war der Beweis des vom Verf. lange vermuteten und für seine geometrische Zahlentheorie wichtigen Satzes, dass ein convexer Körper, der aus convexen Körpern mit Mittelpunkt aufgebaut werden kann, selbst einen Mittelpunkt hat. Das Hauptmittel, durch das es gelang, den genannten Satz endgültig zu verificiren, bilden einige Sätze von H. Brunn über den Schnitt convexer Bereiche mit parallelen Ebenen; sind \(A\), \(B\), \(C\) die Inhalte dreier solchen Schnitte, und teilt der mittlere \(B\) den Abstand von \(A\) und \(C\) im Verhältnis \(t\): \(1-t\), so ist nämlich \(\sqrt B\geqq(1-t)\sqrt A + t\sqrt C\). An der Hand dieser Ungleichung beweist der Verf. zunächst die folgenden, die Abhängigkeit der Polyeder von ihren Grenzflächen betreffenden Sätze. Sind \(F_\nu\) die Seitenflächen und \(\alpha_\nu\), \(\beta_\nu\), \(\gamma_\nu\) die Richtungen der äusseren Normalen eines möglichen Polyeders, so giebt es stets ein und nur ein convexes Polyeder, das einen gegebenen Punkt als Sehwerpunkt besitzt und die \(F_\nu\) als Flächen, die \(\alpha_\nu\), \(\beta_\nu\), \(\gamma_\nu\) als Normalenrichtungen. Sind zweitens \(n\) Flächen \(F_\nu\) und \(n\) Richtungen \(\alpha_\nu\), \(\beta_\nu\), \(\gamma_\nu\) beliebig gegeben, doch so, dass sie nicht alle in eine Ebene fallen, so giebt es stets ein und nur ein convexes Polyeder, das einen gegebenen Punkt als Mittelpunkt und paarweise parallele Flächen \(F_\nu\) mit den gegebenen Normalenrichtungen besitzt. Die Verbindung beider Sätze ergiebt das oben genannte Theorem. Es folgt noch insbesondere, dass jeder convexe Fundamentalbereich eines Raumgitters ein Körper mit Mittelpunkt ist und von höchstens 14 paarweise parallelen Flächen begrenzt wird, wie zuerst von Fedoroff abgeleitet wurde.
Nebenbei stellt der Verf. noch die folgenden wichtigen Sätze über Minimumsprobleme auf. 1) Unter allen Polyedern mit parallelen Grenzflächen giebt es stets solche, die Kugeln umbeschrieben sind, und es ist für sie das Verhältnis \(O^3:J^2\) ein Minimum. (\(O\) Oberfläche, \(J\) Inhalt.) 2) Werden für irgend eines dieser Polyeder, das kein Minimumspolyeder ist, die Grenzflächen um eine constante Länge \(l\) nach aussen verschoben, so nimmt dabei der Quotient \(O^3:J^2\) mit wachsendem \(l\) beständig ab und convergirt nach seinem Minimumswert. 3) Insbesondere hat unter allen convexen Körpern die Kugel das Minimum von \(O^3:J^2\).

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