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Lectures on the Theory of Functions. (Leçons sur la théorie des fonctions.) (French) JFM 29.0336.01
Paris: Gauthier-Villars et Fils. IX + 136 S. gr. \(8^\circ\) (1898).
Das Buch enthält die vom Verf. im Frühjahre 1897 an der École Normale gehaltenen Vorträge mit einigen bei der Abfassung für den Druck getroffenen Aenderungen und ist dem Subdirector dieser Schule, Jules Tannery, gewidmet, der in Darboux Bull. (2) 22, 242-250 eine recht eingehende Besprechung der Schrift voll warmer Anerkennung geliefert hat. Der Hauptzweck der Vorträge besteht in einer Darstellung der Mengenlehre, so weit dieselbe in der Functionentheorie nützlich ist. Von den sechs Kapiteln des Buches sind die drei ersten der Entwickelung der Grundbegriffe dieser Lehre gewidmet: I. Allgemeine Begriffe über die Mengen. Mächtigkeit, abzählbare Mengen, Vergleichung der abzählbaren Mengen mit den anderen; Mengen mit der Mächtigkeit des Stetigen. II. Die algebraischen Zahlen und die Approximation der incommensurablen Zahlen. III. Die perfecten und die messbaren Mengen. In den drei folgenden Kapiteln werden die Anwendungen der Mengenlehre in der Functionentheorie besprochen. Kapitel IV handelt von der analytischen Fortsetzung, Kapitel V von der Convergenz gewisser reeller Reihen, und Kapitel VI erörtert den Begriff der Function einer complexen Veränderlichen. Wir führen aus dem Schlussworte dieses Kapitels die Stelle an, mit der es endigt: “Wir würden befriedigt sein, wenn wir unsere Leser überzeugt hätten, dass weder die grundlegenden Arbeiten von Weierstrass, noch die weiteren Arbeiten von Mittag-Leffler, Appell, Poincaré, Runge, Painlevé die Frage nach den Beziehungen zwischen dem Begriffe einer analytischen Function und des analytischen Ausdrucks völlig beantworten. Man kann sogar ohne Uebertreibung sagen, dass die Erforschung und die Klassification der analytischen Ausdrücke, die nicht fähig sind, die Null darzustellen, ohne identisch Null zu sein, fast ganz noch zu bewerkstelligen ist.”
An diesen Hauptinhalt schliessen sich drei umfangreiche Noten (S. 102- 134). Die erste erörtert den Begriff der Mächtigkeiten: die Gleichheit und Ungleichheit der Mächtigkeiten, die Bildung von Mengen mit immer grösseren Mächtigkeiten, die Mächtigkeit der Functionenmengen. Die zweite Note beschäftigt sich mit dem Wachstum der Functionen und den Zahlen zweiter Klasse. Das Theorem von P. du Bois-Reymond, die Bildung einer Scala wachsender Typen und die Zahlen von G. Cantor werden der Reihe nach betrachtet. Die dritte Note erörtert den Begriff der Function im allgemeinen. Die unstetigen Functionen, die durch abzählbare Bedingungen definirten Functionen und der Begriff einer willkürlichen Function werden verglichen und in ihren Unterschieden gekennzeichnet.

MSC:
30-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to functions of a complex variable