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Sur une extension du calcul des substitutions linéaires. (French) JFM 30.0121.01

Der von Frobenius ausgebildeten Composition bilinearer Formen stellt Verf. zwei in mancher Hinsicht analoge Processe zur Seite. Sind \[ A_1 = \sum a_{ik}'x_iu_k,\,A_2 = \sum a_{ik}''x_iu_k\,(i,k=1,2,\dots,m)\tag{1} \] zwei bilineare Formen, so wird unter der “composition bialternée” derselben die neue Form: \[ A_1A_2 = A_2A_1 = \sum a_{k_1k_2}^{i_1i_2}x_{i_1i_2}u_{k_1k_2}\tag{2} \] verstanden, wo: \[ \left\{\begin{aligned} 2a_{k_1k_2}^{i_1i_2} &= a_{i_1k_1}'a_{i_2k_2}'' - a_{i_1k_2}'a_{i_2k_1}'' - a_{i_2k_1}'a_{i_1k_2}'' + a_{i_2k_2}'a_{i_1k_1}'',\\ x_{i_1i_2} &= x_{i_1}'x_{i_2}'' - x_{i_2}'x_{i_1}'',\, u_{k_1k_2} = u_{k_1}'u_{k_2}'' - u_{k_2}'u_{k_1}''\,(i_1<i_2,k_1<k_2).\end{aligned}\right.\tag{3} \] Der Process lässt sich auf mehr als zwei Formen \(A\) ausdehnen.
Andererseits liefert der Process der “conjonction” der beiden Bilinearformen \[ A = \sum a_{ij}x_iu_j\,(i,j=1,2,\dots,m),\quad B = \sum b_{kl}y_kv_l\,(k,l=1,2,\dots,n)\tag{4} \] die neue Form: \[ A\times B = \sum{}_{ij}a_{ij}b_{kl}X_{ik}U_{jl}.\tag{5} \] Mittels dieser Begriffe lassen sich u. a. zwei bekannte Determinantensätze von Franke und Kronecker fast unmittelbar herleiten.

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Full Text: Gallica