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Contribution to the theory of Riemann’s \(\zeta(s)\) function. (Contribution à la théorie de la fonction \(\zeta(s)\) de Riemann.) (French) JFM 30.0193.01

Für die Ableitung des reciproken Wertes der Riemann’schen \(\zeta\)-Function gilt: \[ \frac{\zeta'(s)}{\zeta^2(s)} = \sum_{k=1}^\infty\frac{\mu(k)\log k}{k^s}, \] unter \(\mu(k)\) eine neuerdings vielfach betrachtete zahlentheoretische Function verstanden. Ist die rechts stehende Reihe für \(s=1\) convergent, so ist leicht zu sehen, dass ihr Summenwert \(-1\) ist. Bereits 1832 behauptete Möbius die Gültigkeit der Gleichung: \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{\mu(k)\log k}{k}=-1. \] Den ersten Beweis für die Richtigkeit dieser Gleichung liefert der Verf. in der vorliegenden Note.

MSC:

11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11M41 Other Dirichlet series and zeta functions
11A25 Arithmetic functions; related numbers; inversion formulas
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Full Text: Gallica