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Sur les intégrales algébriques de l’équation de Riccati. (French) JFM 30.0297.06

Damit die sämtlichen Wurzeln einer algebraischen Gleichung \[ f(u) = \sum_{r=0}^{r=n}\frac{n!}{r!(n-r)!}r^r a_{n-r}(t) = 0 \] der Riccati’schen Gleichung \[ \frac{du}{dt} = A_0(t) + uA_1(t) + u^2A_2(t)\tag{1} \] (die \(A\) und \(a\) rational in \(t\)) als Integrale genügen, ist es notwendig und hinreichend, dass das Polynom \(f(u)\) durch eine auf \(u\) ausgeübte linear gebrochene Substitution in ein Polynom \(F(u)\) mit von \(t\) unabhängigen Coefficienten transformirt werden könne. Dies wiederum ist dann und nur dann der Fall, wenn \(n-3\) absolute Invarianten von \(f(u)\) constant sind. Weitere Bemerkungen betreffen die Construction einer irreduciblen algebraischen Gleichung, deren Wurzeln der Differentialgleichung (1) genügen, und von der Verf. bereits in einer früheren Mitteilung (C. R. 96; F. d. M. 15, 268, 1883, JFM 15.0268.02) einige Eigenschaften angegeben hat.

Citations:

JFM 15.0268.02
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Full Text: Gallica