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Complément à l’Analysis situs. (French) JFM 30.0435.02
Es handelt sich um den Satz, dass für jeden \(n\)-dimensionalen geschlossenen Raumteil die Betti’schen Zusammenhangszahlen \(p_m\) und \(p_{n-m}\) einander gleich sind. Für diesen Satz hatte Poincaré (F. d. M. 26, 541, 1895, JFM 26.0541.07) einen Beweis gegeben, und Heegard hatte sowohl den Beweis wie auch den Satz für irrig erklärt (F. d. M. 29, 529, 1898, JFM 29.0529.01). Der Satz lässt sich jedoch aufrecht erhalten, wenn man die Betti’schen Zahlen in geeigneter Weise definirt. Dies wird von Poincaré in der zweiten Abhandlung ausführlich durchgeführt; die erste (siehe JFM 30.0435.01) ist eine kurze vorläufige Mitteilung.
Sind in einem geschlossenen Raumteil \(V\) die \(m\)-dimensionalen Gebiete \(v_1\), \(v_2\), ..., \(v_n\) so enthalten, dass sie nicht selbst, sondern erst im Verein mit einem ebenfalls in \(V\) enthaltenen \(m\)-dimensionalen Gebiet \(v_{n+1}\) die volle Grenze eines \((m+1)\)-dimensionalen Gebietes von \(V\) ausmachen, so hat die Betti’sche Zahl \(p_m\) den Wert \(n+1\). Dies ist die von Betti gegebene Definition. Für sie gilt der Satz nicht, wie aus einem Beispiel von Heegard, sowie auch aus einem von Poincaré früher selber gegebenen Beispiel hervorgeht. Wenn man aber die Betti’schen Zahlen so definirt, dass man bei der Abzählung der Zahl von Gebieten \(v_\lambda\), die noch nicht die volle Grenze des \((m+1)\)-dimensionalen Gebietes ausmachen, zulässt, dass jedes \(v_\lambda\) öfter auftreten darf, aber doch nur einmal gezählt wird, so gilt der Satz. Dies ist die Definition, die Poincaré in seiner ersten Arbeit von vorn herein zu Grunde gelegt hat; in dieser Hinsicht ist also der Einwand von Heegard nicht gerechtfertigt.
Dagegen ist ein Einwand, den Heegard gegen den von Poincaré geführten Beweis gemacht hatte, wirklich begründet. Demgemäss giebt Poincaré hier einen neuen Beweis, der sich auf die Theorie der \(n\)-dimensionalen Polyeder und deren Zusammenhangsverhältnisse stützt und an ihnen die bezüglichen Fragen erörtert.

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