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A new definition of the general Abelian linear group. (English) JFM 31.0138.04

Verf. bringt die Abelsche Gruppe, mit der er sich im Galoisschen Feld \(\mathrm{GF}[p^n]\) (\(p\) Primzahl) schon wiederholt beschäftigt hat (vergl. F. d. M. 28, 136, 1897, JFM 28.0136.01; 29, 118, 1898, JFM 29.0118.02) mit der von ihm sogenannten zweiten componirten Gruppe der linearen homogenen Gruppe (American M. S. Bull. 5; F. d. M. 29, 119, 1898, JFM 29.0119.02) in Verbindung. Je nach dem \(p\) den Wert 2 oder einen grösseren Wert hat, ist die allgemeine Abelsche Gruppe in \(2m\) Variabeln im \(\mathrm{GF}[p^n]\) holoedrisch oder hemiedrisch isomorph mit einer gewissen Untergruppe der zweiten componirten Gruppe der allgemeinen linearen homogenen Gruppe in \(2m\) Variabeln im \(\mathrm{GF}[p^n]\); diese Untergruppe ist dadurch definirt, dass sie eine gewisse Linearfunction als relative Invariante hat. Zum Schluss wird gezeigt, dass die einfache, in der quinären orthogonalen Gruppe im \(\mathrm{GF}[p^n]\) \((p>2)\) enthaltene Gruppe der Ordnung
\[ \frac12(p^{4n} - 1)(p^{2n} - 1)p^{4n} \]
holoedrisch isomorph mit der einfachen, aus der quaternären Abel’schen Gruppe in demselben Galoisschen Felde sieh ergebenden Gruppe der gleichen Ordnung ist. Bezüglich der componirten Gruppe einer Gruppe, die in der Arbeit eine sehr wichtige Rolle spielt, darf Ref. darauf hinweisen, dass diese durch Determinantentransformation (Hurwitz: Math. Ann. 45, 392; F. d. M. 25, 171, 1894, JFM 25.0171.01) aus der ursprünglichen Gruppe gewonnene Gruppe schon auf Weierstrass (Baltzer’s Determinanten, S. 55 der 4. Auflage) zurückgeht und sowohl in zahlen- und formentheoretischen Untersuchungen wie auch in solchen aus der Theorie der linearen homogenen Differentialgleichungen vielfach verwendet wurde. (Vgl. L. Schlesinger: Handbuch der Theorie der linearen Differentialgleichungen, \(2_1\), 125; ferner Encyklopädie: Arithmetische Theorie der Formen von Vahlen, 1, 593.)

MSC:

20K01 Finite abelian groups
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