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On double sequences and double series. (Ueber Doppelfolgen und Doppelreihen.) (German) JFM 31.0245.03

Eine zweifach unendliche Folge reeller Zahlen \(a_\mu^\nu\) \((\mu,\nu = 0,1,2,\dots)\) heisst eine Doppelfolge und wird durch \(\{a_\mu^\nu\}\) bezeichnet. Es wird vorausgesetzt, dass die \(|a_\mu^\nu|\) unter einer bestimmten Zahl \(G\) sich befinden; deshalb heisst die Folge eine begrenzte. Dann existirt eine untere und obere Grenze \(U\) und \(O\), so dass keine der Zahlen \(a_\mu^\nu<U\) und \(>O\) ist, dass aber in jedem \(U\), bezw. \(O\) umschliessenden Intervall Zahlen der Folge sich befinden.
Existirt eine Zahl \(a\), so dass sich jeder positiven Zahl \(\varepsilon\) zwei ganze positive Zahlen \(m\), \(n\) so zuordnen lassen, dass für \(\mu\geq m\), \(\nu\geq n\) \[ |a - a_\mu^\nu|\leq \varepsilon \] wird, so heist \(a\) der Grenzwert der Folge, die Folge convergent: \[ \lim_{\mu,\nu=a} a_\mu^\nu = a. \] Jede begrenzte, nie abnehmende (zunehmende) Doppelfolge besitzt ihre obere Grenze \(O\) (untere Grenze \(U\)) als Grenzwert. Jede monotone Folge ist convergent.
Die obere und untere Grenze der Partialfolge \(a_{\mu+\varrho}^{\nu+\sigma}\) \((\varrho,\sigma = 0,1,2,\dots)\) werde durch \(o_\mu^\nu\) und \(u_\mu^\nu\) bezeichnet, dann heissen die begrenzten Doppelfolgen \(u_\mu^\nu\), \(o_\mu^\nu\) \((\mu,\nu = 0,1,2,\dots)\) die untere und obere Grenzfolge der Doppelfolge \(a_\mu^\nu\); beide sind convergent. \[ \lim_{\mu,\nu=\infty} u_\mu^\nu = \varliminf_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu = u;\quad \lim_{\mu,\nu=\infty} o_\mu^\nu = \varlimsup_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu = o. \] \(u\) und \(o\) heissen die untere und obere Unbestimmtheitsgrenze der Doppelfolge. Die Unbestimmtheitsgrenzen einer begrenzten Doppelfolge \(a_\mu^\nu\) sind die Grenzwerte der zu \(a_\mu^\nu\) gehörigen unteren und oberen Grenzfolge.
Unter einer in der Doppelfolge \(a_\mu^\nu\) enthaltenen einfachen Folge versteht man eine einfache Folge von Zahlen \(a_\mu^\nu\), welche der Doppelfolge angehören, und deren Zeiger unabhängig von einander über alle Grenzen wachsen. \(\{a_{\mu_\varrho}^{\nu_\varrho}\}\), wobei \(\mu_0\), \(\mu_1\), \(\mu_2\), ..., \(\nu_0\), \(\nu_1\), \(\nu_2\), ... zwei Folgen ganzer positiver Zahlen bedeuten. \(\lim\limits_{\varrho=\infty} \mu_\varrho=\infty\), \(\lim\limits_{\varrho=\infty} \nu_\varrho=\infty\).
Die Unbestimmtheitsgrenzen einer jeden in einer begrenzten Doppelfolge enthaltenen einfachen Folge liegen zwischen den Unbestimmtheitsgrenzen der Doppelfolge.
Das von den Unbestimmtheitsgrenzen einer Doppelfolge begrenzte Intervall \((u, o)\) heisst das Oscillationsintervall der Doppelfolge. Ein Intervall \((u', o')\) heisst in einem andern enthalten, wenn \(u\leq u'\leq o'\leq o\) ist.
Ist eine einfache Folge in einer Doppelfolge enthalten, so ist auch ihr Oscillationsintervall in dem der Doppelfolge enthalten.
Eine Doppelfolge convergirt dann und nur dann, wenn ihre Unbestimmtheitsgrenzen einander gleich werden.
Eine Doppelfolge convergirt dann und nur dann, wenn sämtliche in ihr enthaltenen einfachen Folgen convergiren.
Unter gleichmässiger Convergenz der Folgen eines Systems zum Grenzwert \(a\) versteht man, dass bei sämtlichen Folgen die Glieder sich von ein und derselben Stelle an von \(a\) höchstens um die beliebig kleine Grösse \(\varepsilon\) unterscheiden.
Wenn in einer Doppelfolge die Diagonalfolge \(a_\mu^\mu\) \((\mu = 0,1,2,\dots)\) und die zu ihr parallelen Folgen zu einem und demselben Grenzwert gleichmässig convergiren, so convergirt auch die Doppelfolge zu diesem Grenzwert und umgekehrt.
Die Doppelfolge mit convergenten Zeilen (Colonnen) ist dann und nur dann convergent, wenn die Convergenz der Zeilen (Colonnen) eine gleichmässige ist und auch die von den Zeilen-(Colonnen-)Grenzwerten gebildete Folge convergirt.
Sind die Zeilen \(\{a_0^\nu, a_1^\nu, a_2^\nu,\dots\}\) \((\nu = 0,1,2,\dots)\) nicht convergent, so oscilliren sie zwischen den Unbestimmtheitsgrenzen \(\varliminf\limits_{\mu=\infty}a_\mu^\nu = \underline{a^\nu}\), \(\varlimsup\limits_{\mu=\infty}a_\mu^\nu = \overline{a^\nu}\). Die sämtlichen Zeilen nähern sich ihren Oscillationsintervallen gleichmässig, wenn jeder beliebig kleinen positiven Zahl \(\varepsilon\) ein Zeiger \(m\) zugeordnet werden kann, so dass für jedes einzelne \(\nu\) \(\underline{a^\nu}-\varepsilon\leq a_\mu^\nu\leq \overline{a^\nu}+\varepsilon\) für \(\mu\geq m\), dass also in jeder einzelnen Zeile vom \(m\)-ten Gliede ab die Glieder sich höchstens im Abstande \(\varepsilon\) vom zugehörigen Oscillationsintervall befinden. Ein so beschaffenes System von Folgen heisst gleichmässig oscillirend.
Eine Doppelfolge ist dann und nur dann convergent, wenn das System der Zeilen gleichmässig oscillirt und die aus den Unbestimmtheitsgrenzen der Zeilen gebildeten Folgen zu demselben Grenzwert convergiren.
Wenn in einer Doppelfolge die Zeilen und Colonnen convergiren und eins von diesen beiden Systemen gleichmässig convergirt, so convergirt auch die Doppelfolge und somit auch die Folgen der Zeilen- und Colonnen-Grenzwerte.
Stellt man \(a_\mu^\nu\) durch einen Punkt einer Ebene dar, welcher in Bezug auf ein fest gegebenes rechtwinkliges Coordinatensystem die Coordinaten \(x=\mu\), \(y=\nu\) besitzt, so werden die \(a_\mu^\nu\) durch die Ecken eines Punktgitters dargestellt, welches den von der positiven \(X\)- und der positiven \(Y\)-Axe begrenzten Quadranten überspannt. Die Punkte, welche die Elemente einer in der Doppelfolge enthaltenen einfachen Folge \(\{a_{m_\nu}^\nu\) \((\nu = 0,1,2,\dots)\) darstellen, geben, successive verbunden, einen gebrochenen Linienzug; ein solcher teilt den Quadranten in zwei Teile \(H\) und \(V\), von denen \(H\) von dem Linienzug und der positiven \(X\)-Axe, \(V\) von dem Linienzug und der positiven \(Y\)-Axe begrenzt wird. Die Gesamtheit der Elemente \(a_\mu^\nu\), deren Punkte sich in \(H\), bezw. \(V\) befinden, heisst der horizontale, bezw. verticale Teil der Doppelfolge. Eine Doppelfolge verläuft in \(H\) oder \(V\), wenn sie von Anfang oder einer bestimmten Stelle an ganz \(H\) oder \(V\) angehört.
Eine Doppelfolge heisst horizontal convergent, wenn sich dieselbe durch eine in ihr enthaltene einfache Folge in einen horizontalen Teil \(H\) und einen verticalen Teil \(V\) zerlegen lässt, so dass sämtliche in der Doppelfolge enthaltenen und in \(H\) verlaufenden einfachen Folgen convergiren. Dann convergiren alle diese Folgen zu demselben Grenzwert \(a\), die Doppelfolge convergirt horizontal zum Grenzwert \(a\). (Entsprechend wird die verticale Convergenz definirt.)
Wenn eine Doppelfolge zum Grenzwert \(a\) horizontal (vertical) convergirt, so convergiren die beiden von den oberen und unteren Unbestimmtheitsgrenzen der Zeilen (Colonnen) gebildeten Folgen zum Grenzwert \(a\).
Wenn die Doppelfolge zum Grenzwert \(a\) lateral (d. h. horizontal und vertical) convergirt, so convergiren die aus den Unbestimmtheitsgrenzen der Zeilen und Colonnen gebildeten Folgen sämtlich zum Grenzwert \(a\) und umgekehrt.
Es ist dann und nur dann \[ \text{I}.\qquad \lim_{\mu=\infty}\lim_{\nu=\infty} a_\mu^\nu = \lim_{\nu=\infty}\lim_{\mu=\infty} a_\mu^\nu, \] wenn die Doppelfolge \(\{a_\mu^\nu\}\) lateral convergirt und sämtliche Zeilen und Colonnen convergiren.
Ist eine Doppelfolge mit convergenten Zeilen und Colonnen convergent, so sind die Grenzprocesse I vertauschbar.
Convergiren in einer Doppelfolge alle Zeilen und Colonnen, und ist eins von diesen Systemen gleichmässig convergent, so sind die beiden Grenzprocesse vertauschbar.
Eine Doppelfolge \(\{u_\mu^\nu\}\), deren Glieder man successive durch Summation aneinander zu reihen beabsichtigt, heisst eine unendliche Doppelreihe. Setzt man \[ \begin{aligned} u_0^0 &+ u_1^0 + u_2^0 +\cdots+ u_\mu^0\\ + u_0^1 &+ u_1^1 + u_2^1 +\cdots+ u_\mu^1\\ + .\quad&.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\quad.\\ + u_0^\nu &+ u_1^\nu + u_2^\nu +\cdots+ u_\mu^\nu\end{aligned} \] gleich \(S_\mu^\nu\), so heisst die Doppelfolge \(\{S_\mu^\nu\}\) die Doppelfolge der Partialsummen der Doppelreihe. Ist \(\lim\limits_{\mu,\nu=\infty}S_\mu^\nu=s\), so heisst die Doppelreihe convergent und \(s\) die Summe der Doppelreihe.
Die Glieder einer Doppelreihe kann man so anordnen, dass sie eine einfache Reihe bilden; dabei ist entweder jedes Glied der einfachen Reihe mit einem Glied der Doppelreihe identisch, oder jedes Glied der einfachen Reihe ist eine Summe einer endlichen Anzahl von Gliedern der Doppelreihe. Alle so entstehenden Reihen heissen die aus der Doppelreihe hervorgehenden einfachen Reihen.
Wenn alle aus einer Doppelreihe hervorgehenden einfachen Reihen convergiren, so muss die Doppelreihe absolut convergiren und umgekehrt.
Das System \[ \begin{matrix} &\quad&\quad&\quad\\ u_0^0&u_1^0&\dots&u_\mu^0\\ u_0^1&u_1^1&\dots&u_\mu^1\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ u_0^\nu&u_1^\nu&\dots&u_\mu^\nu\end{matrix} \] heisst das Rechteck \([u_\mu^\nu]\).
Bildet man für \(\mu_1\leq \mu_2\leq \mu_3\), ..., \(\nu_1\leq \nu_2\leq \nu_3\), ... \[ \begin{aligned} \sum_0^{\nu_2}\nu\sum_0^{\mu_2}\mu u_\mu^\nu - \sum_0^{\nu_1}\nu\sum_0^{\mu_1}\mu u_\mu^\nu &= S_{\mu_2}^{\nu_2} - S_{\mu_1}^{\nu_1},\\ \sum_0^{\nu_3}\nu\sum_0^{\mu_3}\mu u_\mu^\nu - \sum_0^{\nu_2}\nu\sum_0^{\mu_2}\mu u_\mu^\nu &= S_{\mu_3}^{\nu_3} - S_{\mu_2}^{\nu_2},\end{aligned} \] so erhält man die aus der Doppelreihe hervorgehende einfache Reihe \[ S_{\mu_1}^{\nu_1} + (S_{\mu_2}^{\nu_2}-S_{\mu_1}^{\nu_1}) + (S_{\mu_3}^{\nu_3}-S_{\mu_2}^{\nu_2}) + (S_{\mu_4}^{\nu_4}-S_{\mu_3}^{\nu_3}) +\cdots. \] Die durch die Partialsummen \(S_{\mu_1}^{\nu_1}\), \(S_{\mu_2}^{\nu_2}\), \(S_{\mu_3}^{\nu_3}\), ... gebildete Reihe heisst eine Rechteckanordnung der Doppelreihe.
Zur Convergenz einer Doppelreihe ist notwendig und hinreichend, dass sämtliche aus ihr mittels Rechteckanordnung hervorgehenden einfachen Reihen convergiren. Ein System convergenter Reihen ist dann und nur dann das System der Zeilen einer convergenten Doppelreihe, wenn erstens die von den Summen der Reihen gebildete Reihe convergirt, und wenn zweitens die aus den Reihen des Systems durch successive Summation gebildeten Reihen zu ihren Summen gleichmässig convergiren.
Wenn in einer Doppelreihe alle Zeilen und Colonnen convergiren und die dann ebenfalls stattfindende Convergenz der durch successive Summation der Zeilen (Colonnen) gebildeten Reihen eine gleichmässige ist, so ist die Doppelreihe convergent, und es ist \[ \sum_0^\infty \nu\left(\sum_0^\infty \mu u_\mu^\nu\right) = \sum_0^\infty \mu\left(\sum_0^\infty \nu u_\mu^\nu\right) = \sum_0^\infty \mu,\nu u_\mu^\nu. \] Die Gesamtheit derjenigen Elemente \(u_\mu^\nu\), welche sich in dem von der horizontalen Anfangsfolge \(\{u_0^0, u_1^0, u_2^0,\dots\}\) und einer einfachen Folge \(\{u_{m_0}^0, u_{m_1}^1, u_{m_2}^2,\dots\}\) begrenzten Teil befinden, heisst der horizontale Teil des Systems \(\{u_\mu^\nu\}\); es sind die Zahlen \(u_{m_\nu+\mu}^\nu\) \((\mu,\nu=0,1,2,\dots)\). Aehnlich wird der verticale Teil \(V\) erklärt.
Eine Doppelreihe \(\sum\limits_0^\infty \mu\nu u_\mu^\nu\) heisst horizontal convergent, wenn die zugehörige Doppelfolge der Partialsummen \(\{s_\mu^\nu\}\) horizontal convergirt.
Entsprechend wird die verticale Convergenz einer Doppelreihe definirt. Eine Doppelreihe heisst lateral convergent, wenn die Doppelfolge ihrer Partialsummen lateral convergirt.
Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass in einer Doppelreihe mit convergenten Zeilen und Colonnen die Reihen der Zeilen-Summen und Colonnen-Summen convergiren und dieselbe Summe liefern, besteht in der lateralen Convergenz der Doppelreihe.

MSC:

40A05 Convergence and divergence of series and sequences
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References:

[1] cf. Encyklopädie der mathem. Wissenschaftnn Bd. I, A 3 (Art. 20, p. 76, 77).
[2] A. Pringsheim: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Sitzungsberichte der math. phys. Classe der k. bayer. Akademie der Wiss. Bd 27 Heft I, p. 101-152, 1897.
[3] Cf. z. B. Stolz, Allgemeine Arithmetik Bd. I, p. 149 ff.
[4] Cf. Pringsheim: Doppelreihen § 1, Münchener Sitzungsberichte Bd. 37, 1897.
[5] Die Bezeichnung der oberen und unteren Unbestimmtheitsgrenze durch Lim,Lim rührt von Herrn Pringsheim her cf. Sitz.-Ber. der Münchener Akademie Bd. 28 (1898), p. 59ff. Vergl. auch Encyklopädie der math. Wissenschaften Bd. I, A 8 (Artikel 15).
[6] cf. Pringsheim: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897) p. 105 ff.
[7] Ebenda: p. 104 cf. Pringsheim: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
[8] cf. Pringsheim, l. c. p. 106.: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber (1897)
[9] cf. Pringsheim, l. c. p. 105.: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
[10] cf. Pringsheim: Unendliche Doppelreihen, l. c. p. 104.: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
[11] cf. Pringsheim: Unendliche Doppelreihen, l. c. p. 105.: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
[12] cf. Pringsheim, l. c. p. 107.: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
[13] cf. Pringsheim, l. c. p. 108.: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
[14] Ueber die einfachste Art einer solchen Anordnung cf. Pringsheim: Unendliche Doppelreihen l. c. p. 135, 136; vgl. auch J. Tannery: Introduction à la théorie des fonctions d’une variable, Paris 1886, p. 57ff. cf. Pringsheim: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
[15] cf. Pringsheim l. c. § 4.: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
[16] Pringsheim, Unendliche Doppelreihen, l. c. p. 117.: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
[17] Cf. Pringsheim, l. c. p. 118.: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
[18] Cf. Pringsheim, l. c. p. 116.: Elementare Theorie der unendlichen Doppelreihen, Münchener Sitzungsber. (1897)
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