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On the theory of doubly infinite sequences of numbers. (Zur Theorie der zweifach unendlichen Zahlenfolgen.) (German) JFM 31.0249.01

Eine zweifach unendliche Folge reeller Zahlen \(a_\mu^\nu\) \((\mu=0,1,2,\dots; \,\nu=0,1,2,\dots)\) wird eine Doppelfolge genannt. Sie heisst convergent und besitzt den endlichen Grenzwert \(A\) \(\left(\lim\limits_{\mu=\infty,\nu=\infty} a_\mu^\nu=A\right)\), wenn zu jedem \(\varepsilon>0\) zwei natürliche Zahlen \(n_1\), \(n_2\) existiren, so dass \(|a_\mu^\nu - A|\leq\varepsilon\) für \(\mu\geq n_1\), \(\nu\geq n_2\) ist; sie heisst eigentlich divergent, ihr Grenzwert \(+\infty\) (bezw. \(-\infty\)) \(\lim\limits_{\mu=\infty,\nu=\infty} a_\mu^\nu=+\infty\) (bezw. \(-\infty\)), wenn zu jedem \(G > 0\) zwei natürliche Zahlen \(n_1\), \(n_2\) existiren, so dass \(a_\mu^\nu > G\), bezw. \(<-G\) für \(\mu\geq n_1\), \(\nu\geq n_2\). In beiden Fällen “existirt der Limes der Doppelfolge oder der Doppellimes \(a_\mu^\nu\).”
Die Doppelfolge \(a_\mu^\nu\) heisst monoton, und zwar niemals ab-, bezw. niemals zunehmend, wenn durchweg \[ a_{\mu+\varrho}^{\nu+\sigma} - a_\mu^\nu\geq 0,\text{ bezw. }a_{\mu+\varrho}^{\nu+\sigma} - a_\mu^\nu\leq 0 \] \((\varrho,\sigma = 0,1,2,\dots)\) ist.
Bleiben die \(|a_\mu^\nu|\) unter einer Zahl \(g\), so ist die monotone Doppelfolge \(|a_\mu^\nu|\) allemal convergent.
Eine monotone Doppelfolge \(a_\mu^\nu\) ist convergent oder eigentlich divergent, je nachdem \(\lim\limits_{\nu=\infty} a_\nu^\nu\) endlich oder unendlich ist, und es ist \[ \lim_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu = \lim_{\nu=\infty} a_\nu^\nu. \] Jede Doppelfolge, die weder convergent noch eigentlich divergent ist, wird als uneigentlich divergent bezeichnet.
Die Gesamtheit der in der Doppelfolge \(a_\mu^\nu\) enthaltenen Terme wird durch \([a_\mu^\nu]_0^0\) bezeichnet; ebenso bezeichnet \([a_\mu^\nu]_m^n\) die Gesamtheit derjenigen Terme, welche nach Weglassung der ersten \(m\) Colonnen und \(n\) Zeilen übrig bleiben. Die Terme \([a_\mu^\nu]_m^n\) besitzen allemal eine untere Grenze \(\underline{A}_m^n\) und eine obere \(\overline{A}_m^n\), welche auch \(-\infty\), bezw. \(+\infty\) sein können. Dann ist \(\lim\limits_{\nu=\infty}\underline A_\nu^\nu = \underline A\), \(\lim\limits_{\nu=\infty}\overline A_\nu^\nu = \overline A\), \(\underline A\leq\overline A\), wo \(\underline A\), \(\overline A\) auch \(-\infty\) oder \(+\infty\) sein können. \(\underline A\), \(\overline A\) heissen die Haupt-Limites (Unbestimmtheitsgrenzen) der Doppelfolge \(a_\mu^\nu\), und zwar \(\underline A\) der untere, \(\overline A\) der obere Doppellimes: \(\varliminf\limits_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu = \underline A\), \(\lim\limits_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu = \overline A\), und es ist \(\underline A -\varepsilon\leq a_\mu^\nu\leq \overline A + \varepsilon\) für \({\mu\atop\nu}\}\geq n\), d. h.:
Bei beliebig klein vorgeschriebenem \(\varepsilon>0\) und hinlänglich grossem \(n\) gehören alle Terme der Doppelfolge \([a_\mu^\nu]_n^n\) dem Zahlenintervall \((\underline A-\varepsilon, \overline A+\varepsilon)\) an.
Zu jedem beliebig klein vorgeschriebenen \(\varepsilon > 0\) giebt es unendlich viele, jede beliebig gross vorgeschriebene Zahl übersteigende Zahlenpaare \(\mu,\,\nu\), so dass \(\underline A-\varepsilon< a_\mu^\nu< \underline A+\varepsilon)\), bezw. \(\overline A-\varepsilon< a_\mu^\nu< \overline A+\varepsilon)\) ist. Insbesondere existiren zu jeder positiven nach Null convergirenden Zahlenfolge \(\varepsilon_\nu\) monoton ins Unendliche wachsende Folgen natürlicher Zahlen \(m_\nu,\,n\), bezw. \(p_\nu\), \(q_\nu\), so dass \[ \underline A-\varepsilon_\nu< a_{m_\nu}^{n_\nu}< \underline A+\varepsilon_\nu,\text{ bezw. }\overline A-\varepsilon_\nu< a_{p_\nu}^{q_\nu}< \overline A+\varepsilon_\nu. \] Bedeutet \(\mu\), \(\nu\) \((\nu=0,1,2,\dots)\) je eine Folge natürlicher monoton ins Unendliche wachsender Zahlen, so soll die ans der Doppelfolge herausgehobene einfache Folge \((a_{m_\nu}^{n_\nu})\) \((\nu=0,1,2,\dots)\) eine echte Teilfolge der ersteren heissen.
Ist \(\varliminf\limits_{\mu,\nu=\infty}a_\mu^\nu=\underline A\), \(\varlimsup\limits_{\mu,\nu=\infty}a_\mu^\nu=\overline A\), so existiren echte Teilfolgen mit den Grenzwerten \(\underline A\) und \(\overline A\); dagegen giebt es keine echte Teilfolge, welche einen kleineren Grenzwert als \(\underline A\) oder einen grösseren als \(\overline A\) besitzt.
Wenn jede echte Teilfolge convergirt, bezw. eigentlich divergirt, so gilt dasselbe von der Doppelfolge selbst.
Die Terme \(a_\mu^\nu\) jeder einzelnen Zeile (also \(\nu\) beliebig, aber constant, \(\mu=0,1,2,\dots\)) besitzen stets einen unteren und oberen Limes \(\varliminf\limits_{\mu=\infty}a_\mu^\nu = \underline a^\nu\), bezw. \(\pm\infty\), \(\varlimsup\limits_{\mu=\infty}a_\mu^\nu = \overline a^\nu\), bezw. \(\pm\infty\) \((\nu=0,1,2,\dots)\). Beide können zusammenfallen \(\varliminf\limits_{\mu=\infty}a_\mu^\nu = \varlimsup\limits_{\mu=\infty}a_\mu^\nu = a^\nu\), bezw. \(=\pm\infty\), und die betreffende Zeile ist convergent, bezw. eigentlich divergent.
Zu jeder der beiden Folgen \(\varliminf\limits_{\mu=\infty}a_\mu^0\), \(\varliminf\limits_{\mu=\infty}a_\mu^1\), ..., \(\varliminf\limits_{\mu=\infty}a_\mu^\nu\), ... und \(\varlimsup\limits_{\mu=\infty}a_\mu^0\), \(\varlimsup\limits_{\mu=\infty}a_\mu^1\), ..., \(\varlimsup\limits_{\mu=\infty}a_\mu^\nu\), ... gehört ein unterer und oberer Limes \[ \varliminf_{\nu=\infty}\varliminf_{\mu=\infty} a_\mu^\nu,\quad \varlimsup_{\nu=\infty}\varliminf_{\mu=\infty} a_\mu^\nu,\quad \varliminf_{\nu=\infty}\varlimsup_{\mu=\infty} a_\mu^\nu,\quad \varlimsup_{\nu=\infty}\varlimsup_{\mu=\infty} a_\mu^\nu. \] Die beiden äusseren dieser vier Zahlen heissen der iterirte untere, bezw. obere Zeilen-Limes, und es ist: \[ \begin{aligned} \varliminf_{\nu=\infty}\varliminf_{\mu=\infty} a_\mu^\nu &\leq \varlimsup_{\nu=\infty}\varliminf_{\mu=\infty} a_\mu^\nu\leq \varlimsup_{\nu=\infty}\varlimsup_{\mu=\infty} a_\mu^\nu,\\ \varliminf_{\nu=\infty}\varliminf_{\mu=\infty} a_\mu^\nu &\leq \varliminf_{\nu=\infty}\varlimsup_{\mu=\infty} a_\mu^\nu\leq \varlimsup_{\nu=\infty}\varlimsup_{\mu=\infty} a_\mu^\nu.\end{aligned} \] Man kann aus der Doppelfolge \((a_\mu^\nu)\) stets echte Teilfolgen \((a_{m_\nu}^{n_\nu})\), \((a_{p_\nu}^{q_\nu})\) so herausheben, dass \[ \lim_{\nu=\infty} a_{m_\nu}^{n_\nu} = \varliminf_{\nu=\infty}\varliminf_{\mu=\infty} a_\mu^\nu,\quad \lim_{\nu=\infty} a_{p_\nu}^{q_\nu} = \varlimsup_{\nu=\infty}\varlimsup_{\mu=\infty} a_\mu^\nu. \] Wenn jede Zeile convergirt: \(\lim\limits_{\mu=\infty} a_\mu^\nu = a^\nu\) \((\nu= 0,1,2,\dots)\), so heisst dies: zu jedem (beliebig kleinen) \(\varepsilon>0\) und für jedes einzelne \(\nu\) existiren Zahlen \(m_\nu\) und somit eine kleinste Zahl \(m_\nu'\), so dass \(|a_\mu^\nu - a^\nu|\leq\varepsilon\), wenn \(\mu\geq m_\nu'\) \((\nu=0,1,2,\dots)\). Die \(m_\nu'\) sind mit \(\nu\) im allgemeinen veränderlich und können (sämtlich oder teilweise) zugleich mit \(\nu\) über alle Grenzen wachsen, ebenso die \(|a^\nu|\). In beiden Fällen heissen die Zeilen ungleichmässig convergent. Sie heissen dagegen gleichmässig convergent, wenn für die \(m_\nu'\) ein bestimmtes endliches Maximum \(m\) und für die \(|a^\nu|\) eine endliche Schranke \(g\) existirt.
Sind alle Zeilen eigentlich divergent, so ist also \(\lim\limits_{\mu=\infty}a_\mu^\nu = +\infty\), bezw. \(-\infty\) \((\nu=0,1,2,\dots)\), d. h. zu jedem (beliebig grossen) \(G>0\) und für jedes einzelne \(\nu\) existiren Zahlen \(m_\nu\) und eine kleinste Zahl \(m_\nu'\), so dass \(a_\mu'>G\), bezw. \(<-G\), wenn \(\mu\geq m_\nu'\) \((\nu=0,1,2,\dots)\). Haben dann die \(m_\nu'\) ein bestimmtes endliches Maximum \(m\), so dass \(a_\mu^\nu>G\), bezw. \(<-G\), wenn \(\mu\geq m\) \((\nu=0,1,2,\dots)\), so heissen die Zeilen gleichmässig divergent; sie heissen ungleichmässig divergent, wenn ein solches Maximum nicht vorhanden ist, so dass die \(m_\nu'\) gleichzeitig mit \(\nu\) sämtlich oder teilweise ins Unendliche wachsen.
Wenn die Limites der Zeilen (nach Ausschluss einer endlichen Zahl) unter einer festen Schranke bleiben: \(\varliminf a_\mu^\nu = \underline a^\nu\), \(\varlimsup a_\mu^\nu = \overline a^\nu\), wo \(\left.{|\underline a^\nu|\atop|\overline a^\nu|}\right\}<g\) für \(\nu\geq n\), so existirt zu jedem \(\varepsilon > 0\) und für jedes einzelne \(\nu\geq n\) eine kleinste Zahl \(m_\nu'\), so dass \(\underline a^\nu-\varepsilon\leq a_\mu^\nu\leq \overline a^\nu+\varepsilon\) für \(\mu\geq m_\nu'\), \(\nu\geq n\). Haben dann die \(m_\nu'\) ein endliches Maximum \(m\), so dass \(\underline a^\nu-\varepsilon\leq a_\mu^\nu\leq \overline a^\nu+\varepsilon\) für \(\mu\geq m\), \(\nu\geq n\) \(\left.{|\underline a^\nu|\atop|\overline a^\nu|}\right\}<g\), so sollen die Zeilen für \(\nu\geq n\) gleichmässig begrenzt heissen, dagegen ungleichmässig begrenzt, wenn eine solche Zahl \(m\) nicht existirt, oder wenn die \(|\underline a^\nu|\) und \(|\overline a^\nu|\) nicht unter einer endlichen Schranke bleiben.
Bestehen die fraglichen Bedingungen nur für einen der beiden Limites, d. h. hat man nur \(\overline a^\nu - \varepsilon\leq a_\mu^\nu\) für \(\mu\geq n\), \(\nu\geq n\), \(|\underline a^\nu|<g\) oder \(\overline a^\nu + \varepsilon\geq a_\mu^\nu\) für \(\mu\geq n\), \(\nu\geq n\), \(|\overline a^\nu|<g\), so heisst die Begrenzung der Zahlen einseitig gleichmässig.
Ist \(\lim\limits_{\nu=\infty}\overline{\varliminf\limits_{\mu=\infty}} a_\mu^\nu = +\infty\), bezw. \(-\infty\), so existirt für jedes einzelne \(\nu\geq n\) eine kleinste Zahl \(m_\nu'\), so dass \(a_\mu^\nu>G\), bezw. \(<-G\) für \(\mu\geq m_\nu'\), \(\nu\geq n\). Ist dann für die \(m_\nu'\) ein endliches Maximum \(m\) vorhanden, so dass \(a_\mu^\nu>G\), bezw. \(<-G\) für \(\mu\geq m\), \(\nu\geq n\), so heissen die Zeilen der Doppelfolge gleichmässig unbegrenzt.
Der iterirte untere, bezw. obere Limes ist niemals kleiner, bezw. grösser als der entsprechende Doppel-Limes, d. h. es ist stets \[ \varliminf_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu\left\{\begin{aligned} &\leq \varliminf_{\nu=\infty}\varliminf_{\mu=\infty} a_\mu^\nu\leq \varlimsup_{\nu=\infty}\varlimsup_{\mu=\infty} a_\mu^\nu\\ &\leq \varliminf_{\mu=\infty}\varliminf_{\nu=\infty} a_\mu^\nu\leq \varlimsup_{\mu=\infty}\varlimsup_{\nu=\infty} a_\mu^\nu\end{aligned}\right\} \leq \varlimsup_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu. \] Es ist stets \[ \left.\begin{aligned} \lim_{\nu=\infty}\overline{\varliminf}_{\mu=\infty} a_\mu^\nu\\ \lim_{\mu=\infty}\overline{\varliminf}_{\nu=\infty} a_\mu^\nu\end{aligned}\right\} = \lim_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu, \] sobald der letzte Grenzwert existirt.
Sind die Zeilen (Colonnen) der Doppelfolge nach eventuellem Ausschlusse einer endlichen Anzahl gleichmässig begrenzt oder unbegrenzt, im Falle \(\varlimsup\varlimsup a_\mu^\nu = +\infty\) oder \(\varliminf\varliminf a_\mu^\nu = -\infty\) wenigstens einseitig gleichmässig begrenzt, so ist \[ \varliminf_{\nu=\infty}\varliminf_{\mu=\infty} a_\mu^\nu = \varliminf_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu,\quad \varlimsup_{\mu=\infty}\varlimsup_{\nu=\infty} a_\mu^\nu = \varlimsup_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu, \] bezw. \[ \varliminf_{\mu=\infty}\varliminf_{\nu=\infty} a_\mu^\nu = \varliminf_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu,\quad \varlimsup_{\mu=\infty}\varlimsup_{\nu=\infty} a_\mu^\nu = \varlimsup_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu. \] Für die Convergenz der Doppelfolge \(a_\mu^\nu\) ist notwendig und hinreichend, dass die Zeilen oder Colonnen mit eventuellem Ausschluss einer endlichen Anzahl gleichmässig begrenzt sind, und dass \(\lim\limits_{\nu=\infty}\overline{\varliminf\limits_{\mu=\infty}} a_\mu^\nu\), bezw. \(\lim\limits_{\mu=\infty}\overline{\varliminf\limits_{\nu=\infty}} a_\mu^\nu\) existirt. Ist diese Bedingung für die Zeilen und \(\lim\limits_{\nu=\infty}\overline{\varliminf\limits_{\mu=\infty}} a_\mu^\nu\) erfüllt, so besteht sie auch für die Colonnen und \(\lim\limits_{\mu=\infty}\varlimsup\limits_{\nu=\infty} a_\mu^\nu\), vice versa, und man hat dann allemal \[ \lim_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu = \lim_{\mu=infty}\overline{\varliminf}_{\nu=\infty} a_\mu^\nu = \lim_{\nu=infty}\overline{\varliminf}_{\mu=\infty} a_\mu^\nu. \] Für die eigentliche Divergenz der Doppelfolge ist notwendig und hinreichend, dass die Zeilen oder Colonnen mit eventuellem Ausschluss einer endlichen Anzahl gleichmässig unbegrenzt sind. Ist diese Bedingung für die Zeilen erfüllt, so besteht sie auch für die Colonnen, vice versa, und man hat dann allemal \[ \lim_{\mu,\nu=\infty} a_\mu^\nu = \lim_{\mu=infty}\overline{\varliminf}_{\nu=\infty} a_\mu^\nu = \lim_{\nu=infty}\overline{\varliminf}_{\mu=\infty} a_\mu^\nu = +\infty,\text{ bezw. }-\infty. \]

MSC:

40A05 Convergence and divergence of series and sequences
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References:

[1] Münch. Sitz.-Ber. Bd. 27 (1897), p. 101.
[2] Mit Hülfe sehr einfacher Zahlen-Schemata (vgl. § 3, Beisp. 1) und 3)) kann man diesen, bei der sonst üblichen Einführungsart demAnfänger meist äusserst schwierig erscheinenden und dennoch, nach meinem Dafürhalten, selbst inElementar Vorlesungen kaum mehr zu entbehrenden Begriff, förmlichad oculos demonstriren.
[3] Ueber den Sinn dieser Bezeichnungsweise vgl. p. 302, Fussnote.
[4] Vgl. auch p. 301, Fussnote.
[5] Vgl. Münch. Sitz.-Ber. a. a. O. p. 105; desgl. Bd. 28 (1898), p. 63.
[6] Vgl. p. 300, Fussn. 1.
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