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Ueber raumgleiche Polyeder. (German) JFM 31.0505.02

Während die Lehre von der Inhaltsgleichheit ebener Polygone in ganz elementarer Weise auf den Congruenzbegriff gegründet werden kann, nimmt man bei der entsprechenden Lehre der Inhaltsgleichheit von Polyedern infinitesimale Betrachtungen zu Hülfe. Die naheliegende Frage, ob eine ebenso elementare Behandlung vielleicht auch hier möglich sei, ist von Gauss angeregt worden. Aber obgleich die Vermutung, dass diese Frage zu verneinen sei, sich wohl den meisten Mathematikern aufgedrängt haben dürfte, ist der Nachweis hierfür bisher nicht erbracht worden. M. Dehn ist dieser Nachweis gelungen. Um die Fragestellung zu präcisiren, wird die Bezeichnung “raumgleiche Polyeder” für solche inhaltsgleichen Polyeder eingeführt, welche sich in respective congruente Polyeder zerlegen lassen. Es wird nun eine für die Raumgleichheit notwendige Bedingung aufgestellt, welche im allgemeinen bei inhaltsgleichen Polyedern nicht erfüllt ist. Sie lautet: Sind \(\pi_1\), \(\pi_2\), ..., \(\pi_k\) die (von je zwei benachbarten Flächen gebildeten) Flächenwinkel des einen, \(\pi_1'\), \(\pi_2'\), ..., \(\pi_l'\) die des andern Polyeders, so ist für ihre Raumgleichheit das Bestehen einer Congruenz von der Form \[ n_1\pi_1 + n_2\pi_2 +\cdots+ n_k\pi_k\equiv n_1'\pi_1' + n_2'\pi_2' +\cdots+ n_l'\pi_l'\pmod{2R} \] notwendig, wo \(n_1\), ..., \(n_k\), \(n_1'\), ..., \(n_l'\) ganze positive Zahlen (Null ausgeschlossen) sind. — Indem beispielsweise gezeigt wird, dass der Flächenwinkel des regulären Tetraeders zu einem Rechten in keinem rationalen Verhältnis steht, ergiebt sich, dass ein System regulärer Tetraeder und ein System von Würfeln oder allgemeiner Prismen niemals raumgleich sein können. — Um den Nachweis der Unmöglichkeit der im oben angegebenen Sinne elementaren Behandlung der Inhaltsgleichheit von Polyedern vollständig zu erbringen, ist noch zu zeigen, dass inhaltsgleiche Polyeder im allgemeinen auch nicht durch Hinzufügung congruenter in raumgleiche verwandelt werden können. Den Beweis hierfür hat Dehn in einer späteren Arbeit erbracht. Bei der Besprechung dieser Arbeit (siehe JFM 32.0486.01) wird auf die hier gebrauchten Methoden näher eingegangen werden.

Citations:

JFM 32.0486.01
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Full Text: EuDML