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Über die Charaktere der alternierenden Gruppe. (German) JFM 32.0136.02
Die symmetrische Gruppe \({\mathfrak H}'\) von \(n\) Symbolen der Ordnung \(n!\) besteht aus \(k'=2\mu + \nu\) Klassen konjugierter Elemente, \(\mu +\nu\) dieser Klassen sind gerade, \(\mu\) ungerade. Die alternierende Untergruppe \({\mathfrak H}\), welche nur aus allen geraden Permutationen von \({\mathfrak H}'\) besteht, umfaßt nur die Permutationen der \(\mu +\nu\) geraden Klassen von \({\mathfrak H}'\). Bei der Einteilung von \({\mathfrak H}\) in Klassen konjugierter Elemente zerfällt jede der \(\nu\) Klassen von \({\mathfrak H}'\), deren Permutationen aus lauter Zyklen verschiedener ungerader Ordnungen bestehen, in zwei Klassen. \({\mathfrak H}\) besitzt mithin \(k=\mu + 2\nu\) Klassen konjugierter Elemente \((k'>k)\). “Die \(2\mu +\nu\) Charaktere der symmetrischen Gruppe bestehen aus \(\mu\) Paaren assoziierter Charaktere und \(\nu\) sich selbst assoziierten Charakteren, die für alle Klassen außer einer gerade Werte haben. Die \(\mu +2\nu\) Charaktere der darin enthaltenen alternierenden Gruppe bestehen aus \(\nu\) Paaren konjugierter Charaktere und \(\mu\) sich selbst konjugierten. Die Werte der letzteren sind dieselben wie bei der symmetrischen Gruppe. Ein sich selbst assoziierter Charakter spaltet sich in der alternierenden Gruppe in zwei konjugierte Charaktere, deren Werte die Hälften jener geraden Zahlen sind, für das eine Paar konjugierter Klassen aber, wofür sie verschiedene Werte besitzen, durch Auflösung einer quadratischen Gleichung gefunden werden.” Bezüglich der verwandten Begriffe vergl. man Frobenius: Über Gruppencharaktere, Berl. Ber. 1896, sowie über die Charaktere der symmetrischen Gruppe, Berl. Ber. 1900. Als Beispiel wird \(n=8\) behandelt, niedrigere Werte des \(n\) sind schon in früheren Arbeiten des Verf. besprochen worden.

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