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Über auflösbare Gruppen. III. (German) JFM 32.0136.03

Mit Hülfe seiner Theorie der Gruppencharaktere beweist Frobenius den folgenden Fundamentalsatz, der als das wichtigste Ergebnis der Arbeit anzusehen ist: I. Sind \(f\) und \(g\) teilerfremde Zahlen, und enthält eine Gruppe \(\mathfrak H\) der Ordnung \(fg\) eine Gruppe \({\mathfrak F}\) der Ordnung \(f\), von deren Elementen nicht zwei in Bezug auf \(\mathfrak H\) konjugiert sind, so enthält \(\mathfrak H\) eine und nur eine (daher charakteristische) Untergruppe der Ordnung \(g\). Diese wird gebildet von allen Elementen von \(\mathfrak H\) , deren Ordnung in \(g\) aufgeht. Aus diesem Satze ergibt sich u. a.: II. Ist \(p^{\lambda}\) die höchste Potenz der Primzahl \(p\), die in der Ordnung \(h=p^{\lambda} g\) der Gruppe \(\mathfrak H\) aufgeht, ist \({\mathfrak P}\) eine in \(\mathfrak H\) enthaltene Gruppe der Ordnung \(p^{\lambda}\) sind je zwei Elemente von \({\mathfrak P}\) mit einander vertauschbar, so enthält \(\mathfrak H\) eine und nur eine Untergruppe der Ordnung \(g\), falls \(g\) zu \(\vartheta({\mathfrak P})\) teilerfremd ist. \(\vartheta({\mathfrak P})\) ist dabei \((p-1) (p^2 -1) \dots (p^k - 1)\), wobei \(k\leqq \lambda\) und durch die Invarianten der kommutativen Gruppe \({\mathfrak P}\) bestimmt ist. In dem besonderen Falle \(\lambda =1\) ist \({\mathfrak P}\) notwendig eine kommutative Gruppe, \(\vartheta({\mathfrak P})\) wird \(p-1\). Aus diesem speziellen Satz läßt sich dann folgendes Theorem herleiten: Sind die Primfaktoren der Zahl \(a\) alle unter einander verschieden, und ist jeder Primfaktor von \(b\) größer als der größte Primfaktor von \(a\), so bilden in einer Gruppe \(\mathfrak H\) der Ordnung \(ab\) die \(b\) Elemente, deren Ordnung in \(b\) aufgeht, eine charakteristische Untergruppe. Die Existenz von genau \(b\) solchen Elementen der Gruppe \(\mathfrak H\), deren Ordnung in \(b\) aufgeht, hatte Verf. im ersten Teil seiner Arbeit bereits gezeigt. (Berl. Ber. 1893, siehe auch das Referat über G. Frobenius: Auflösbare Gruppen II, F. d. M. 26, 158, 1895, JFM 26.0158.02). Gleichzeitige Untersuchungen über die in dem vorliegenden Aufsatze behandelten Fragen sind von W. Burnside angestellt worden. (London, M. S. Proc. 33, vgl. die Referate unten S. 139, siehe JFM 32.0138.02 und JFM 32.0139.02).

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