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On quantitative substitutional analysis. (English) JFM 32.0157.02
Hat man eine Funktion \(P\) von \(n\) Variablen und transformiert ihre Variablen durch die \(n!\) Permutationen der symmetrischen Gruppe, so erhält man aus \(P\) \(n!\) Funktionen, die nicht notwendig unter einander verschieden zu sein brauchen. Zwischen diesen Funktionen können lineare Relationen mit konstanten Koeffizienten bestehen; Verf. schreibt dieselben in der Form: \[ (\lambda_1 + \lambda_2 \;s_2+ \lambda_3\; s_3 + \cdots)P =0, \] dabei sind \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \dots,\) Konstanten, \(s_2, s_3, \dots\) bedeuten Substitutionen der symmetrischen Gruppe. Relationen wie die eben hingeschriebene bezeichnet Verf. als Substitutionsrelationen; ist \(P\) eine unbekannte, der Substitutionsrelation genügende Funktion, so heißt die Relation eine Substitutionsgleichung. Ist \(R\) eine bekannte Funktion der Variablen, so werden auch verallgemeinert Relationen der Form: \[ (\lambda_1 + \lambda_2\;s_2 + \lambda_3 \;s_3 + \cdots)P = R \] als Substitutionsgleichungen bezeichnet. \((1- s)P= 0\) heißt z. B.: das Vorzeichen von \(P\) wird durch die Substitution \(s\) geändert. Verf., der durch seine invariantentheoretischen Arbeiten (F. d. M. 30, 118, 1899, ebenda 31, 112, 1900, JFM 30.0118.03 und JFM 31.0112.03) auf diesen Gegenstand geführt wurde, untersucht im ersten Teil der vorliegenden Arbeit Substitutionsgleichungen. Der zweite Teil setzt den Inhalt der Capellischen Arbeit “Sur les opérations dans la théorie des formes algébriques” (Math. Ann. 37) auseinander und zeigt den Zusammenhang von Capellis Polarprozessen mit den Substitutionsoperationen. Hierdurch gelangt Verf. u. a. zu den Gordanschen Reihen, ihrer Erweiterung durch Capelli (vergl. Encyklopädie I, 374) sowie zu einem Theorem von Peano (Torino Atti 17 ; F. d. M. 14, 74, 1882, JFM 14.0074.01).

MSC:
13A50 Actions of groups on commutative rings; invariant theory
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