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On the integrals of complete differentials of the third kind in the theory of algebraic surfaces. (Sur les intégrales de différentielles totales de troisième espèce dans la théorie des surfaces algébriques.) (French) JFM 32.0419.01
Die Theorie der totalen Differentiale erster und zweiter Gattung auf algebraischen Flächen hat der Verf. in seiner großen Arbeit (F. d. M. 21, 775, 1889, JFM 21.0775.01) begründet, und es bleibt hier nur die Aufgabe, geeignete Beispiele zu finden, um an ihnen die allgemeinen Sätze zu erläutern.
Anders verhält es sich mit den Differentialen dritter Gattung; hier haben sich dem Verf. so viele Schwierigkeiten in den Weg gestellt, daß er sich mit einem ersten Vorstoß in dieser Richtung begnügt. Er findet eine innige Verwandtschaft zwischen den Doppelintegralen der zweiten Gattung und den Integralen von totalen Differentialen dritter Gattung; über die letzteren auf einer gegebenen Fläche läßt sich ein allgemeiner Satz aufstellen, in dem eine eigentümliche Zahl \(\varrho\) auftritt, von der sich zwar ohne weiteres eine obere Grenze angeben läßt, deren wahre Bedeutung aber noch zu erforschen bleibt.
Ferner werden gewisse Typen von Flächen angegeben, für die sich sämtliche Integrale totaler Differentiale auf algebraisch-logarithmische Kombinationen zurückführen lassen. Es scheint dies sogar im allgemeinen stets möglich zu sein; andererseits lassen sich Ausnahmefälle konstruieren, in denen es nicht möglich ist. Es bleibt die schwierige Frage zu beantworten, wie sich alle diese Ausnahmefälle charakterisieren lassen.
Sei eine algebraische Fläche vom Grade \(m\) gegeben durch \(f(x, y, z)=0\) mit nur gewöhnlichen Singularitäten. Eine Kurve \(C\) vom Grade \(d\) auf der Fläche \(f\) läßt sich darstellen durch zwei Gleichungen von der Form: \(A(x,y)=0\), \(z=R(x,y)\), wo \(A\) ein irreduktibles Polynom ist und \(R\) rational; \(C\) wird aus \(f\) durch den Cylinder \(A\) ausgeschnitten. Man kann nun ein auf \(C\) bezügliches Abelsches Integral \(J\) dritter Gattung von folgenden Eigenschaften herstellen: Im Endlichen besitzt \(J\) nur diejenigen Punkte \((z, x)\) von \(C\) zu logarithmisch-singulären Punkten, die den Gleichungen \(A(x, \overline y) =0\), \(z= R(x, \overline y)\) genügen, wo \(\overline y\) einen Parameter bedeutet, so daß die polare Periode eines jeden dieser Punkte den Wert +1 annimmt; von den \(m\) Punkten von \(C\) im Unendlichen ist nur einer ein logarithmisch-singulärer Punkt mit der Periode \(-d\); endlich ist \(J\) von der Gestalt \(J=\int S(x, \overline y, z)dx\), wo \(S\) eine rationale Funktion ihrer Argumente bedeutet. Außer der Periode 1 wird \(J\) noch, unter \(p\) das Geschlecht von \(C\) verstanden, \(2p\) cyklische Perioden \(\omega_1, \dots, \omega_{2p}\) besitzen, die von \(y\) abhängen. Läßt man \(y\) variieren, so erfahren jene \(2p+1\) Perioden eine lineare ganzzahlige Substitution \(S\), wo die Koeffizienten der \(2p\) ersten Kolonnen von der Kurve \(C\) ganz unabhängig sind. Die Anzahl \(K\) der Substitutionen \(S\) ist daher ebenfalls von \(C\) unabhängig.
Nunmehr mögen \(\lambda\) Kurven \(C_1, \dots, C_\lambda\) auf \(f\) vorliegen; die entsprechenden Integrale seien \(J_1, \dots, J_\lambda\). Ferner bilde man sich \(2p\) Integrale zweiter Gattung \(I_1, \dots, I_{2p}\), die sich auf die Kurve \(f(x, \overline y, z)=0\) beziehen sollen. Man bestimme jetzt \(2p\) rationale Funktionen \(a_1, \dots, a_{2p}\) und \(\lambda\) Konstanten \(c_1, \dots, c_\lambda\) derart, daß das über \(C\) erstreckte Abelsche Integral \(a_1 I_1 + \cdots + a_{2p} I_{2p} + c_1 J_1 + \cdots +c_\lambda J_\lambda\) lauter von \(y\) unabhängige cyklische Perioden \(K_1, \dots, K_{2p}\) erhält. Auf diese Weise entsteht ein Integral dritter Gattung eines totalen Differentials mit den \(2p\) konstanten cyklischen Perioden \(K\) und den \(\lambda\) konstanten polaren Perioden \(C\). Mit Hülfe dieses Integrals läßt sich ein auf die Fläche \(f\) bezügliches Integral dritter Gattung eines totalen Differentials konstruieren, das Kurven \(C_1, \dots, C_\lambda\) zu logarithmischen Kurven hat und überdies die \(c_1, \dots, c_\lambda\) zu polaren Perioden. Dieses Integral nimmt die Gestalt an: \(\int Rdx + Sdy\), wo \(R\) und \(S\) in \(x, y, z\) rational sind. Übrigens haben dabei die \(K\) und \(c\) gewissen \(2pK\) ganzzahligen Relationen zu genügen. Eine nähere Untersuchung dieser Integrale dritter Gattung auf \(f\) führt zu dem oben angedeuteten Satze: “Auf einer algebraischen Fläche \(f\) mit gewöhnlichen Singularitäten kann man \(\varrho\) spezielle algebraische irreduktible Kurven \(C_1, C_2 , \dots, C_\varrho\) derart ziehen, daß stets ein Integral dritter Gattung auf \(f\) existiert, für das jene Kurven (oder ein Teil derselben) und außerdem eine beliebige \((\varrho + 1)\)-te Kurve die einzigen logarithmischen Kurven sind, daß dagegen kein Integral dritter Gattung auf \(f\) existiert, das nur jene \(\varrho\) Kurven \(C\) (resp. einen Teil derselben) zu logarithmischen Kurven besäße.”
Die Zahl \(\varrho\), die mindestens gleich 1 ist, hat für zwei birational auf einander bezogene Flächen nicht notwendig denselben Wert. Im Falle der Ebene ist \(\varrho =1\). Auch für eine hyperelliptische Fläche zeigt sich auf Grund einer Darstellung der Koordinaten ihrer Punkte durch \(\theta\)-Funktionen zweier Variabeln, daß \(\varrho\) den Wert 1 erhält.
Am Schlusse wird gezeigt, daß Flächen \(f\) existieren, für die alle Integrale totaler Differentiale auf algebraisch-logarithmische Verbindungen zurückkommen. Dies tritt z. B. ein für die Fläche \(z^2 = f(x, y)\), wo \(f\) ein Polynom dritten Grades in \(x\) ist, mit Koeffizienten, die willkürliche Polynome in \(y\) sind. Überdies reduzieren sich hier die Integrale zweiter Gattung auf rationale Funktionen von \(x, y, z\).
Derartige Beispiele geben zugleich einen allgemeinen Weg an, um Integrale dritter Gattung gegebenenfalls zu reduzieren.

MSC:
14J99 Surfaces and higher-dimensional varieties
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