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On quantitative substitutional analysis. II. (English) JFM 33.0158.03
Die vorliegende Arbeit ist eine Fortführung der vom Verf. in den [Proc. Lond. Math. Soc. 33, 97–146 (1901; JFM 32.0157.02)] veröffentlichten. Obgleich von den gruppentheoretischen fundamentalen Untersuchungen von Frobenius völlig unbeeinflußt entstanden, steht der erste Teil der vorliegenden Abhandlung, wie Frobenius im \(\S\) 8 seiner Arbeit “Über die charakteristischen Einheiten der symmetrischen Gruppe” [Berl. Ber. 1903, 328–358 (1903; JFM 34.0148.02)] ausführt, in innigstem Zusammenhange mit Frobenius’ Behandlung der Charaktere der symmetrischen Gruppe. Von des Verf. wichtigen Ergebnissen über die Permutationen der symmetrischen Gruppe dem Leser hier in Kürze ein Bild zu geben, erscheint mit wegen der verwandten komplizierten Formelsymbolik nicht möglich. Eine Fortführung sowie durchsichtigere und vereinfachte Darstellung der erzielten Resultate hat Frobenius in der zitierten Arbeit, über die im nächstjährigen Bande der Fortschritte zu referieren sein wird, gegeben.
Im zweiten Teile wendet der Verf. seine Resultate über die Permutationen der symmetrischen Gruppe auf Invariantentheorie an. Er zeigt auf diesem Wege, daß jede ganze rationale Funktion der Koeffizienten von Formen in mehreren Reihen von gleichvielen Variabeln sich durch die Koeffizienten von Konkomitanten dieser Formen linear ausdrücken läßt. Ferner weist er nach, daß die Invarianten einer einzelnen binären Form \(n\)-ten Grades linear durch gewisse Invarianten \(f(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \dots,\alpha_n)\) ausdrückbar sind; hierbei sind \(\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\) gewisse Zahlen, welche die Invarianten \(f\) völlig charakterisieren und den Gleichungen
\[ \begin{aligned} & \alpha_0+\alpha_1+\dots+\alpha_n=\delta,\\ & \alpha_1+2\alpha_2+3\alpha_3+\dots+n\alpha_n=\alpha_{n-1}+2\alpha_{n-2}+\dotsm+n\alpha_0=w \end{aligned} \] genügen. \(\delta\) bedeutet den Grad, \(w\) das Gewicht der Invarianten.

MSC:
20-XX Group theory and generalizations
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