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A course of modern analysis: An introduction of infinite series and of analytic functions; with an account of the principal transcendental functions. (English) JFM 33.0390.01

Cambridge: At the University Press. XVI u. 378 S. \(8^\circ.\) (1902).
Dieses vortreffliche Lehrbuch zerfällt in zwei Teile: I. Die Prozesse der Analysis. II. Transzendente Funktionen. Nach einer kurzen Besprechung der komplexen Zahlen im ersten Kapitel wird im zweiten Kapitel die Theorie der unbedingten Konvergenz einigermaßen eingehend betrachtet; die Konvergenz unendlicher Determinanten wird hierbei neben den üblichen feststehenden Sätzen behandelt. Kapitel III: Die grundlegenden Eigenschaften analytischer Funktionen, die Sätze von Taylor, Laurent und Liouville. Das Kapitel IV : die gleichmäßige Konvergenz unendlicher Reihen, und das Kapitel V: die Theorie der Residuen nebst Anwendung auf die Auswertung reeller bestimmter Integrale, enthalten eine lichtvolle und anziehende Behandlung der Grundelemente der modernen Analysis. Ihnen folgt im sechsten Kapitel eine reiche Auswahl von Beispielen zur Entwicklung von Funktionen in unendliche Reihen, an ihrer Spitze die Darbouxsche Formel und unter ihnen die Maclaurin-Bernoullische Entwicklung, Bürmanns und Lagranges Reihen, die Verallgemeinerung der letzteren durch Rouché, Teixeira und Laplace, ferner Entwicklungen einer Funktion nacht rationalen Funktionen und als unendliche Produkte, wobei letzteres als ein besonderer Fall des allgemeinen Faktorentheorems von Weierstraß erscheint. Kapitel VII ist den Fourierschen Reihen gewidmet, für welche zwei Beweise gegeben werden; der erste ist eine Abwandlung des zweiten Beweises von Cauchy und der zweite der Dirichletsche. Ein kurzes Kapitel über asymptotische Entwicklungen nach Poincaré schließt den ersten Teil.
Kapitel IX das erste des zweiten Teiles, behandelt die Gammafunktion und enthält viele interessanten Dinge, die bislang für englische Leser nicht leicht zugänglich waren. Legendresche Funktionen werden im zehnten Kapitel erörtert, dis hypergeometrische Reihe in Kapitel XI, die Besselschen Funktionen in Kapitel XII. Diese drei Kapitel enthalten in einem verhältnismäßig kleinen Umfange eine Fülle klar dargestellten und gut ausgewählten Stoffes. Einige interessante Anwendungen auf die Gleichungen der mathematischen Physik werden im dreizehnten Kapitel gegeben. Die übrigen Kapitel bilden gewissermaßen eine Einleitung in die Theorie der elliptischen Funktionen. Kapitel XIV handelt von der Funktion \(\wp(z),\) Kapitel XV von den Funktionen sn \(z\), cn \(z\), dn \(z\), Kapitel XVI von allgemeinen Theoremen.
Das Buch kann durchweg als eine ausgezeichnete Einleitung in die moderne Analysis empfohlen werden. Es ist klar und doch nicht weitschweifig; es ist mit einer ausreichenden Zahl völlig durchgearbeiteter Beispiele ausgestattet, die den allgemeinen Theoremen Bestimmtheit geben, und die dem Studenten zur Bearbeitung überlassenen Beispiele sind zahlreich und gut gewählt. Es soll auch erwähnt werden, daß das Buch eine Übersicht der gebrauchten Kunstausdrücke gibt und außerdem ein recht vollständiges Inhaltsverzeichnis. Der Druck und die Ausstattung sind vortrefflich.

MSC:

30-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to functions of a complex variable
33-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to special functions