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Über die angenäherte Darstellung von ganzen Funktionen. (Swedish) JFM 34.0452.03
Es sei \[ F(z)=\prod_{n=0}^\infty \left( 1+\frac{z}{a_n} \right) e^{ -\frac{z}{a_n} + \frac{z^2}{2a_n^2}- \cdots + \frac{(-1)^p}{p} \frac{z^p}{a_n^p}}\,, \]
\[ a_n=[An(\log n)^{\alpha_1}\dots(\log^\nu n)^{\alpha_\nu} ]^{\frac 1\varrho}. \] \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_\nu\) sind reelle Zahlen \(A>0\). \(\varrho\) erfüllt als Ordnung von \(F(z)\) die Bedingung \(p \leqq \varrho \leqq p+1\).
Lindelöf hat in Acta Soc. Fenn, 31 (F. d. M. 33, 421, 1902, JFM 33.0421.01) asymptotische Ausdrücke für diese Funktionen gegeben.
Für \(p < \varrho <p + 1\) findet er \[ \log F(z)=(-1)^p \;\frac{\pi}{A \varrho^{\alpha_1} \sin \pi (\varrho-p)}\;z^\varrho (\log z)^{-\alpha_1} \dots (\log^\nu z)^{-\alpha_\nu} (1+\varepsilon(z)), \] wo \(\varepsilon(z)\) mit zunehmendem \((z)\) unter jede gegebene positive Größe sinkt.
Ist dagegen \(\varrho\) eine ganze Zahl und ist \(\alpha_n\) die erste der Zahlen \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_\nu\), welche von 1 verschieden ist (für \[ \alpha_1=\alpha_2=\cdots =\alpha_\nu=1 \] soll \(n=\nu+1\) sein), so hat man \[ \log F(z)= (-1)^\varrho \frac{1}{A \varrho^{\alpha_1} (1-\alpha_\kappa)}\;z^\varrho (\log^\kappa z)^{1-\alpha_\kappa} \dots (\log^\nu z)^{-\alpha_\nu}(1+\varepsilon(z)). \] Für \(z=re^{\varphi i}\) wird bei Lindelöf der Gültigkeitsbereich dieser Annäherungsformeln durch die Festsetzung \(-\pi<\varphi<\pi\) begrenzt.
Der Verf. findet, daß man den fraglichen Bereich noch schärfer umgrenzen kann, so daß derselbe die ganze komplexe Ebene umfaßt, nachdem gewisse Kreise um die Nullstellen herausgenommen worden sind. Er entwickelt seine Methode im Falle \(\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_\nu=0\) und Höhe = Null. In diesem Falle erhält man die genannten Approximationen. (Die Methode ist ohne Schwierigkeit in dem allgemeinen Falle anwendbar.)
Die Funktion ist dann \[ F(z)=\prod_1^\infty \left( 1+ \frac{z}{n^\lambda} \right) = Re^{\varPhi i},\quad \lambda=\tfrac 1\varrho>1. \] Der Verf. findet \((z=re^{\varphi i})\) \[ (1)\qquad \varPhi=\frac{r^\varrho \pi}{\sin \varrho \pi}\;\sin \varrho \varphi+[1], \] wo \([1]\) ein Glied von der Größenordnung 1 ist. \[ (2)\qquad \log R=\frac{r^\varrho \pi}{\sin \varrho \pi}\;\cos \varrho \varphi - \frac{1}{2\varrho} \log 2\pi r^\varrho + \left[\log\;\frac{\delta_1}{r} \right], \] wo \(\delta_1\) die kleinste Entfernung von der Stelle \(z\) und einer Nullstelle \((-n^\lambda)\) ist.
Diese Formeln zeigen also, daß die Moduln und die Argumente der Funktion \(F(z)\) und der Funktion \[ \frac{e^{\frac{\pi}{\sin \varrho \pi}\, z^\varrho}}{[2\pi z^\varrho]^{\frac{1}{2\varrho}}} \] sich im großen in übereinstimmender Weise ändern.
Aus {(2)} folgt eine merkwürdige Eigenschaft der Funktion \(F(z)\) für welche \(\varrho<\frac 12\) ist. Um die Nullstellen als Mittelpunkte ziehe man Kreise mit den bezüglichen Radien \[ r_n=n^{\frac 1\varrho}e^{-(1-\varepsilon)\pi n \cot \varrho \pi}. \] Nimmt man aus der komplexen Ebene das Innere dieser Kreise hinweg, so wächst im übrigbleibenden Teile der Ebene der Modul \(R\) mit \(r\) über jede Grenze.
Die obige Tatsache führt zu der Vermutung, daß für die ganzen Funktionen, deren Ordnung \(<\frac 12\) ist, ein bekannter von Hadamard herrührender Satz sich präzisieren läßt. Bedeutet \(F(z)\) ein kanonisches Produkt von der Ordnung \(\varrho\), so sagt der Satz, daß es in der komplexen Ebene Kreise gibt, deren Radius jede gegebene Grenze überschreitet, auf denen durchweg \[ (3)\quad |F(z)|>e^{-r^{\varrho+\varepsilon}}, \] wo \((\varepsilon)\) beliebig klein ist.
Für \(\varrho<\frac 12\) erscheint es nun nicht unwahrscheinlich, daß (3) sich durch \[ |F(z)|>e^{r^{\varrho+\varepsilon}} \] ersetzen ließe. Jedenfalls trifft dies zu, falls die Moduln \((a_n)\) die Relation \[ |a_n|=n^{\frac 1\varrho} \] erfüllen.
Für \(\varrho > \frac 12\) folgt aus {(2)}, daß für \(r=\infty\) der Modul \(R\) unendlich klein wird für \(\varphi<-\frac{\pi}{2\varrho}\) oder \(\varphi>\frac{\pi}{2\varrho}\), dagegen unendlich groß für \(-\frac{\pi}{2\varrho}< \varphi< \frac{\pi}{2\varrho}\), und zwar von den bez. Größenordnungen \(e^{-r^\varrho}\), \(e^{r \varrho}\). Man kann also in diesem Falle nicht wesentlich über die Ungleichheit (3) hinauskommen.
Nach diesem Beispiel konnte man leicht erwarten, daß auch bei analog gebildeten Funktionen von einer Höhe \(> 0\) die Richtungen, in denen lim \(R=\infty\), einen größeren Winkel als \(\frac \pi \varrho\) nicht erfüllen. Dem ist aber nicht so, wie aus der angeführten allgemeinen Formel ersichtlich ist.

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