×

zbMATH — the first resource for mathematics

Sur certaines surfaces algébriques pour lesquelles les intégrales de différentielles totales se ramènent à des combinaisons algébrico-logarithmiques. (French) JFM 34.0459.03
Es ist eine schwierige Frage, zu entscheiden, ob alle “Integrale totaler Differentiale”, die zu einer algebraischen Fläche gehören, sich auf algebraisch-logarithmische Kombinationen reduzieren. Verf. behandelt einige Spezialfälle.
Zunächst betrachtet er die Fläche \[ {(1)}\quad z^2=f(x)F(y), \] wo \(f(x)\) ein Polynom \((2p + 1)\)-ten Grades mit lauter einfachen Wurzeln und \(F(y)\) ebenfalls ein Polynom ist. Er gelangt zu dem Resultat, daß für ein allgemeines \(F(y)\) die zu (1) gehörigen Integrale algebraisch-logarithmisch sind. Es wird noch der interessante Spezialfall \(p=1\) besprochen, insbesondere unter der Voraussetzung \(F(y)=f(y)\).
Auch bei der Fläche \[ {(2)}\quad z^m=x^m+P(y) \quad (m>3), \] wo \(P(y)\) ein allgemeines Polynom \(m\)-ten Grades ist, drücken sich alle Integrale totaler Differentiale durch algebraisch – logarithmische Kombinationen aus.
Zum Schluß wird noch eine andere Untersuchung bei der Fläche (2) angestellt. Wie Verf. früher bewiesen hat (F. d. M. 32, 420, JFM 32.0419.01), gilt folgender Satz: “Auf einer algebraischen Fläche mit gewöhnlichen Singularitäten lassen sich \(\varrho\) spezielle algebraische irreduzible Kurven derart ziehen, daß es stets ein Integral dritter Gattung auf der Fläche gibt, für welches jene Kurven (oder ein Teil von ihnen) und außerdem eine beliebige \((\varrho+1)\)-te Kurve die einzigen logarithmischen Kurven sind, daß dagegen kein Integral dritter Gattung existiert, welches nur jene \(\varrho\) Kurven (oder einen Teil davon) zu logarithmisohen Kurven hat. Diese in der Picardschen Theorie sehr wichtige Zahl \(\varrho\) läßt sich nun bei der Fläche (2) bestimmen und ist gleich \((m-1)^2+1\).

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Gallica