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Prinzipien der Dynamik des Elektrons. (German) JFM 34.0915.02

Die Arbeit ist eine Umarbeitung der Veröffentlichung des Verf. in den Gött. Nachr. von 1902; die hier entwickelte Dynamik baut sich auf rein elektromagnetischer Grundlage ohne Mitführung einer materiellen Masse auf. Das in den Kathoden- und Becquerelstrahlen bewegte freie Elektron sei eine Kugel vom Radius \(a\) und von der gleichmäßigen elektrischen Volumendichte \(\varrho\). Für irgend einen Punkt des Elektrons, dessen Abstand vom Mittelpunkte desselben \(\mathfrak r\) ist, gilt dann die kinematische Grundgleichung: \({\mathfrak v}={\mathfrak q}+[\vartheta {\mathfrak r}]\). Nimmt man hierzu die Lorentzschen Feldgleichungen: \[ \begin{aligned} & \frac 1c\;\frac{\partial f}{\partial t}= \text{curl\,}{\mathfrak H}- \frac{4\pi \varrho}{c} {\mathfrak v},\;\text{div\,}{\mathfrak E}=4 \pi \varrho, \\ -& \frac 1c\;\frac{\partial {\mathfrak H}}{\partial t}=\text{curl\,}{\mathfrak E},\;\text{div}{\mathfrak H}=0 \end{aligned} \] und die sogenannten dynamischen Grundgleichungen, die man aus dem Ansatz von Lorentz und Wiechert für die auf ein Elektron wirkende Kraft: \({\mathfrak K}=e{\mathfrak F}_h\), \({\mathfrak F}_h={\mathfrak E}_h+\frac 1c [{\mathfrak qH}_h]\) unter Annahme einer “äußeren” und einer “inneren” Kraft und entsprechender Drehkräfte erhält, die nach Maxwell und Hertz, infolge des Prinzips der Einheit der elektrischen und magnetischen Kraft, summiert verschwinden müssen: \[ \iiint dv \varrho {\mathfrak F} + {\mathfrak K}=0,\quad \iiint dv \varrho[{\mathfrak rF}]+ \theta=0, \] so hat man alles, was zur Darstellung der Dynamik des Elektrons nötig ist. Zur Behandlung spezieller Bewegungstypen sind dann noch zwei Sätze eingeführt, die das Energieprinzip und die Impulssätze aus der Lorentzschen Theorie gewinnen lassen. Das erstere ist nur aufrecht zu erhalten,wenn man eine besondere elektromagnetische Energie \(x\) annimmt, die das ganze Feld mit der Dichte \(\frac{1}{8\pi}({\mathfrak E}^2+{\mathfrak H}^2)\) erfüllt. In gleicher Weise muß man im zweiten Falle eine elektromagnetische Bewegungsgröße einführen, die über das Feld mit der Dichte \(\frac{1}{c^2}\,{\mathfrak S}\) verteilt ist, wo \(\mathfrak S\) den Poyntingschen Strahlenvektor \({\mathfrak S}=\frac{c}{4\pi}[{\mathfrak EH}]\) darstellt. Hiernach ist \({\mathfrak G}=\frac{1}{c^2} \iiint dv {\mathfrak S}\) der Impuls des Elektrons und \[ M=\frac{1}{c^2} \iiint dv[{\mathfrak rS}] \] der Drehimpuls, bezogen auf den Mittelpunkt des Elektrons. Man erhält so als Bewegungsgleichungen des Elektrons \[ \frac{d{\mathfrak E}}{dt}={\mathfrak K},\quad \frac{d{\mathfrak M}}{dt}+[{\mathfrak qE}]=\varTheta. \] Nimmt man das zweite Axiom Newtons als gültig an, so muß man den in Kathoden- und Becquerelstrahlen bewegten Elektronen eine träge Masse zuschreiben; um diese zu bestimmen, kann man aber nur Bewegungen betrachten, die Newtons erstem Axiom gehorchen. Jede rein translatorische Bewegung ist eine solche. Man erhält für longitudinale Beschleunigung: \(\mu_\varrho=\frac{dG}{dq}\) und für transversale: \(\mu_r=\frac{\mathfrak E}{q}\).
Aus den Experimenten ergibt sich somit für den Radius des Elektrons: \(a=\frac 45\;\frac{e|}{c} \cdot \text{1,865}\cdot 10^7\), d. h. etwa \(a = 10^{-13}\). Nach einer Erörterung über den Gültigkeitsbereich wird zur Betrachtung nur quasistationärer Bewegung übergegangen. Es erfolgt die Einführung eines mit dem Elektron starr verbundenen Koordinatensystems. Die Form der erhaltenen Feldgleichungen legt es nun nahe, nur solche Bewegungen zu betrachten, die in bezug auf das System stationär sind. Es sind dies translatorische, rotatorische Bewegung, und beide verbunden, aber nur bei Rotation um die Translationsachse. Für diese erhält man die Lagrangesche Funktion: \(L=w_m-W_e=-\iiint dv\, \frac{\varrho \varphi}{2}\) im Zusammenhang mit dem Konvektionspotential, die Lagrangeschen Gleichungen. Und schließlich ergibt sich für die transversale Masse: \[ \begin{aligned} \mu_r & =\mu_0\cdot \tfrac 34 \,\psi(\beta), \\ \psi(\beta) & =\frac{1}{\beta^2} \left\{ \frac{1+\beta^2}{2\beta}\;\text{ln}\;\left( \frac{1+\beta}{1-\beta} \right) -1 \right\},\quad \beta=\tfrac qc. \end{aligned} \] Die Bestimmung von \(\psi(\beta)\) ist die Hauptaufgabe des Experiments, und diese ist von Kaufmann, indem er dabei hauptsächlich Relativwerte zum Vergleich benutzte, hinreichend genau gelöst worden.

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