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On a certain double integral. (English) JFM 35.0320.01

Das Doppelintegral \[ \iint x^{i-1}(1-x)^{j-1} y^{l-1}(1-y)^{k-1} (1-xy)^{m-j-k} dxdy \] bewahrt seine Form bei einer gewissen Gruppe von \(5!\) Transformationen, die mit der Gruppe aller Vertauschungen von 5 Dingen isomorph ist. Setzt man \[ x = \frac{(a-b)(c-d)}{(c-b)(a-d)},\quad y = \frac{(a-e)(c-b)}{(c-e)(a-b)}, \] so ergeben, sich diese Transformationen, indem man \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) auf alle möglichen Arten vertauscht; z.B. entspricht der Vertauschung von \(a\) und \(c\) die Transformation \[ x = \frac1{x'},\quad y = \frac1{y'}. \] Jede Transformation der Gruppe bewirkt (abgesehen von einem konstanten Faktor des Integrals) eine lineare Transformation der Buchstaben \(i\), \(j\), \(k\), \(l\), \(m\), und zwar so, daß in dem nachstehenden Schema Zeilen und Spalten vertauscht werden, wie es die zu der Transformation gehörige Vertauschung von \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) angibt: \[ \begin{matrix} &\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad\\ &&a&b&c&d&e\\ a&|&\dots,&i-k-l+1,&m,&k-m-i+1,&l,\\ b&|&i-k-l+1,&\dots,&l-i-j+1,&j,&k,\\ c&|&m,&l-i-j+1,&\dots,&i,&j-l-m+1,\\ d&|&k-m-i+1,&j,&i,&\dots,&m-j-k+1,\\ e&|&l,&k,&j-l-m+1,&m-j-k+1,&\dots\end{matrix} \] Betrachtet man das bestimmte Integral \[ \int_0^1\int_0^1 x^{i-1}(1-x)^{j-1} y^{l-1}(1-y)^{k-1} (1-xy)^{m-j-k} dxdy \] und fordert, daß die Integrationsgrenzen nicht gestört werden, so bleibt eine Untergruppe von zehn Transformationen zurück. Diese haben die Eigenschaft, die zyklische Reihenfolge von \(i\), \(j\), \(k\), \(l\), \(m\) entweder zu bewahren oder umzukehren. Das Integral bleibt also bei diesen zehn Substitutionen der \(i\), \(j\), \(k\), \(l\), \(m\) ungeändert. Nimmt man an, daß die reellen Teile von \(i\), \(j\), \(k\), \(l\), \(m\) positiv sind, so hat das Integral einen endlichen Wert, den Verf. mit \(B(i,j,k,l,m)\) bezeichnet. Mit Hülfe der hypergeometrischen Funktion läßt es sich als einfaches Integral schreiben \[ B(i,j,k,l,m) = \frac{\Gamma k\Gamma l}{\Gamma(k+l)}\int_0^1 x^{i-1}(1-x)^{j-1} F(j+k-m,l,k+l,x)dx. \] Unter Benutzung dieser Formel ergibt sich, daß \[ \frac{B(i,j,k,l,m)}{\Gamma i\Gamma j\Gamma k\Gamma l\Gamma m} \] eine symmetrische Funktion von \[ i+j,\quad j+k,\quad k+l,\quad l+m,\quad m+i \] ist. \(B(i,j,k,l,m)\) genügt gewissen Differenzengleichungen, die der Verf. aufstellt.

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