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Recherches sur les points singuliers des équations différentielles. (French) JFM 35.0331.02
J. de l’Éc. Pol. (2) 9, 5-125 (1904).
Verf. will die zahlreichen Untersuchungen der Integrale einer Differentialgleichung \(X(x,y)dy + Y(x,y)dx = 0\) in der Umgebung singulärer Stellen (für die \(X = 0\) und \(Y = 0\)), welche von Briot und Bouquet begonnen und seitdem von Picard, Poincaré, Darboux, Bendixson, Horn, Lindelöf, Autonne und Koenigsberger fortgesetzt wurden, ergänzen. Er hat über diesen Gegenstand bereits mehrere Noten in den C. R. veröffentlicht (F. d. M. 30, 296, 1899, JFM 30.0296.01; 32, 337, 1901, JFM 32.0337.01). Die vorliegende Arbeit, welche den ersten Teil einer ganzen Untersuchungsreihe bilden soll, ist die ausführliche Entwicklung der in den beiden ersten Noten angegebenen Resultate und zerfällt in zwei Teile: im ersten wird der Fall eines einfachen, im zweiten der eines mehrfachen Schnittpunktes der beiden Kurven \[ X(x,y) = 0\text{ und }Y(x,y) = 0 \] behandelt; die Untersuchung wird durchweg für komplexe Variabeln durchgeführt.
1. Teil: Die Differentialgleichung kann hier in der Umgebung des singulären Punktes \(x = 0\), \(y = 0\) auf die Form gebracht werden: \[ (x +\cdots)dy + (-\lambda y +\cdots)dx = 0, \] wo die Koeffizienten von \(dy\) und \(dx\) holomorphe Funktionen von \(x\) und \(y\) in der Umgebung von \(x = 0\), \(y = 0\) sind; die nicht hingeschriebenen Glieder sind von höherem als dem ersten Grade.
1. Fall: \(\lambda\) ist weder Null, noch negativ, noch ganzzahlig, noch der reziproke Wert einer ganzen Zahl. Das in diesem Falle von Poincaré gegebene allgemeine Integral gestattet die vollständige Durchführung der Untersuchung der Integrale in der Umgebung der singulären Werte \(x = y = 0\). Verf. zeigt, daß mit Ausnahme des Falles, wo \(\lambda\) positiv, der Punkt \(x = 0\) ein wesentlich singulärer Punkt der Integrale \(y(x)\) der Differentialgleichung ist, und ferner, daß es in der komplexen Ebene nicht statthaft ist, einen Unterschied zu machen zwischen dem Falle, wo der reelle Teil von \(\lambda\) positiv, und dem, wo er negativ ist (wie es Briot und Bouquet taten).
2. Fall: \(\lambda\) ist negativ. Die Gleichung läßt sich in die Form bringen \(xdy + y(\nu+\cdots)dx = 0\), wo \(\nu\) positiv ist. Verf. sucht ein allgemeines Integral von der Form \(yx^\nu H(x,y) =\) const. zu erhalten, wo \(H\) holomorph und für \(x = y = 0\) nicht Null ist, und wird dazu geführt, folgende Fälle zu betrachten, für welche die von Poincaré angewandten Bezeichnungen verallgemeinert werden: 1. \(\nu\) ist irrational. \(x = y = 0\) ist ein Sattelpunkt (col). \(H(x,y)\) existiert formell, ist aber in gewissen Fällen divergent. Wenn es Integrale gibt, für welche \(x\) und \(y\) gleichzeitig gegen Null konvergieren, und wenn man mit \(\omega\) und \(\theta\) die Argumente von \(x\) und \(y\) bezeichnet, so wachsen \(|x^my^n\theta|\) und \(|x^my^n\omega|\) für beliebige \(m\) und \(n\) unbegrenzt. Über die Existenz dieser Integrale kann Verf. jedoch nichts aussagen. 2. \(\nu\) ist rational \(\left(\nu = \frac pq\right)\), und es ist unmöglich, das Glied in \(x^{pr}y^{qr}\) von \(H(x,y)\) zu bestimmen. \(x = y = 0\) ist ein Strudelpunkt (foyer). Verf. setzt die Existenz einer unendlichen Anzahl von Integralen in Evidenz, für welche der Modul des Verhältnisses \(y^{qr}x^{-pr}\) einer willkürlich gewählten, von 0 und \(\infty\) verschiedenen Grenze zustrebt, während das Argument der Produkte \(x^{pr}y^{qr}\) gegen bestimmte Grenzen konvergiert. (Dieser Nachweis war bisher nicht gelungen; vgl. Picard, Traité d’Analyse III, 30). 3. \(\nu\) ist rational und \(H(x,y)\) existiert formell. \(x = y = 0\) ist ein Wirbelpunkt (centre). Verf. gibt einen neuen Beweis der Konvergenz von \(H(x,y)\) (vgl. Bendixson, Stockh. Öfv. 1895).
3. Fall: \(\lambda\) ist von der Form \(p\) oder \(\frac1p\). Es wird durch eine neue Methode gezeigt, daß das allgemeine Integral auf die Form gebracht werden kann: \[ \frac{\varphi(x,y)}{[g(x,y)]^p} + a\log[g(x,y)] = \text{ const.} \] 4. Fall. \(\lambda\) ist Null. Durch eine Transformation der Variabeln kann die Gleichung auf die Form gebracht werden: \[ [mx(1+ay^m) + x^2\varphi(x,y) + y^2f(y)]dy + y^{m+1}dx = 0, \] wo \(m\) eine positive ganze Zahl, \(a\) eine Konstante ist, \(f\) und \(\varphi\) holomorphe Funktionen sind, die für \(x = y = 0\) verschwinden. Diese Transformation gestattet, alle Integrale in der Umgebung der singulären Werte zu betrachten, was die von Briot und Bouquet in diesem Falle angewandten Substitutionen nicht erlauben. Bezeichnet man das Argument von \(y\) mit \(\theta\), so konvergiert, wenn \(y\) innerhalb eines Sektors, für den \(\cos m\theta\) negativ bleibt, der Null zustrebt, \(x\) ebenfalls gegen Null.
2. Teil: \(x = y = 0\) ist mehrfacher Schnittpunkt der Kurven \(X(x,y)=0\) und \(Y(x,y)=0\).
1. Untersuchung einer Kategorie von Integralen. Es werden vom Verf. sogenannte reguläre Integrale untersucht, für welche \(x\) und \(y\) gleichzeitig gegen Null konvergieren und \(\frac y{x^\mu}\) für jedes \(\mu\) einer endlichen oder unendlichen Grenze zustrebt. Verf. kann zwar nicht alle regulären Integrale der Gleichung in Evidenz setzen; jedoch resultiert aus der zur Untersuchung dieser Integrale angestellten Diskussion das folgende Theorem: Wenn die Glieder niedrigsten Grades in \(X\) und \(Y\) vom Grade \(n\) sind, und wenn man diejenigen Integrale betrachtet, für welche \(x\) und \(y\) gleichzeitig gegen Null konvergieren, so gibt es im allgemeinen, indem man \(x\) und \(y\) als Funktionen zweier neuen Variabeln \(t\) und \(z\) ausdrückt, \(n + 1\) Integrale oder Gruppen von Integralen, welche durch Gleichungen von der Form \[ tdz + (-\lambda z +\cdots)dt = 0 \] geliefert werden, wo \(\lambda\) von Null verschieden ist. Ist das nicht der Fall, so gibt es unendlich viele Integrale, die durch Gleichungen von anderer Form bestimmt werden.
II. Untersuchung des allgemeinen Integrals in gewissen Fällen. Verf. untersucht, ob das allgemeine Integral sich in die Form bringen läßt: \[ e^{h(x,y)} A_0^{\lambda_0} A_1^{\lambda_1}\dots A_n^{\lambda_n} =\text{ const.}, \] wo die \(\lambda\) Konstanten sind, die \(A\) holomorphe Funktionen, die für \(x = y = 0\) verschwinden, \(h(x,y)\) eine Entwicklung nach Potenzen von \(x\) und \(y\). Man kann stets die möglichen Werte der Exponenten \(\lambda\) bestimmen, wird aber im allgemeinen Unmöglichkeiten in der Bestimmung der Glieder von \(h\) begegnen. Ist das nicht der Fall, und sind die Verhältnisse der \(\lambda\) nicht alle positiv, so konvergiert die erhaltene Entwicklung von \(h(x,y)\). — Der Fall, wo die Verhältnisse sämtlicher \(\lambda\) positiv sind, ist ganz analog dem zweiten Falle des ersten Teiles (\(\lambda\) negativ); er umfaßt die folgenden Unterfälle:
1. \(h(x,y)\) kann nicht bestimmt werden. \(x = y = 0\) ist ein Strudelpunkt (foyer), aber das ist hier der allgemeine Fall. Es gibt unendlich viele Integrale, für welche \(x\) und \(y\) gleichzeitig gegen Null konvergieren.
2. \(h(x,y)\) existiert formell, aber die Verhältnisse der \(\lambda\) sind nicht alle rational. \(x = y = 0\) ist ein Sattelpunkt (col). \(h(x,y)\) kann konvergent oder divergent sein. Über die Existenz der durch den Anfangspunkt gehenden Integrale kann nichts ausgesagt werden, mit Ausnahme derer, die man erhält, indem man die \(A\) gleich Null setzt.
3. \(h(x,y)\) existiert formell, und die Verhältnisse der \(\lambda\) sind alle rational. \(x = y = 0\) ist ein Wirbelpunkt (centre). \(h(x,y)\) ist konvergent.
Aus der ganzen im zweiten Teile durchgeführten Diskussion geht hervor, daß mit Ausnahme der beiden zuletzt angegebenen Fälle (“col” und “centre”) stets unendlich viele Integrale existieren, für welche \(x\) und \(y\) gleichzeitig gegen Null konvergieren. Man gelangt also im wesentlichen zu denselben Schlüssen, ob der singuläre Punkt von der ersten oder von höherer Ordnung ist.

Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 5. Gewöhnliche Differentialgleichungen und Differenzenrechnung. A. Gewöhnliche Differentialgleichungen.