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On the zeroes of a class of integral functions. (English) JFM 35.0416.05
Messenger (2) 34, 97-101 (1904).
“In einer jüngst veröffentlichten Abhandlung (Lond. M. S. Proc. (2) 2, 332) zeigte ich, wie durch Entwicklung eines ursprünglich von Borel stammenden Gedankens sehr genaue Einsicht in die Nullwerte einer Funktionenklasse vom Typus \(\sum\frac{x^{\varphi(x)}}{\{\varphi(n)\}!}\) gewonnen werden kann. In der gegenwärtigen Arbeit beschäftige ich mich mit der Erforschung einer anderen Funktionenklasse, bei der die Natur ihrer Nullwerte durch eine Behandlung ebenso einfacher Art bestimmt werden kann. Der typische Fall einer Funktion obiger Gattung war der, bei dem \(\varphi(n) = n^3\). Ich fand, daß die Nullen dieser Funktion, obenhin gesprochen, auf einer Reihe konzentrischer Kreise liegen, indem die Anzahl der mit jedem Kreise verknüpften Nullen unbegrenzt mit dem Halbmesser des Kreises wächst und ihre Verteilung derjenigen der Eckpunkte eines regelmäßigen Vielecks gleicht. Die Verteilung der Nullen der hier betrachteten Funktionen ist ganz anders; sie sind, wie sich ergibt, in dem am meisten typischen Falle nicht mit einer Kreisreihe, sondern mit einer einzigen Geraden, der negativen reellen Achse, verknüpft.”

MSC:
30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions of one complex variable (e.g., zeros of functions with bounded Dirichlet integral)