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Sur les invariants arithmétiques. (French) JFM 36.0144.07
Diese Abhandlung knüpft an zwei frühere desselben Verfassers an (F. d. M. 11, 146, 1879, JFM 11.0146.02; 13, 146, 1881, JFM 13.0146.03) und führt eine Reihe dort neu eingeführter Ideen weiter aus. Eine lineare Form \(ax+by\) besitzt keine algebraische Invariante, wohl aber arithmetische Invarianten, d. h. eindeutige Funktionen von \(a, b\), die sich nicht ändern, wenn die lineare Form ersetzt wird durch ihre vermöge einer linearen Substitution mit ganzzahligen Koeffizienten hervorgehende Transformierte. Eine solche arithmetische Invariante ist z. B. die bekannte Reihe \[ \text{(I)} \qquad \varPhi_k= \varSigma\;\frac 1{(am+bn)^k} \] (wo \(m, n\) alle ganzen Zahlen (exkl. \(m=0\), \(n=0\)) durchlaufen), die für \(k>2\) absolut konvergiert. Diese Reihen hängen eng mit den elliptischen Funktionen zusammen. Bei Benutzung der Weierstraßschen Bezeichnung hat man für \(a=2 \omega\), \(b=2 \omega'\), sukzessive \(\varPhi_4=\frac{g_2}{3 \cdot 4 \cdot 5}\), \(\varPhi_6=\frac{g_3}{4 \cdot 5 \cdot 7}\), \(\varPhi_8=\frac{g_2^2}{400 \cdot 3 \cdot 7}\), \(\varPhi_{10}=\frac{g_2 g_3}{80 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11}\), usf. Allgemeiner sei \(\varphi(a,b)\) eine (eindeutige) Invariante, so daß \(\varphi(a,b)=\varphi(a \alpha+b \beta, a \gamma+b \delta)\), wo \(\alpha \delta-\beta \gamma=1\). \(\varphi\) ist eine eindeutige Funktion von \(g_2, g_3\), und umgekehrt. Im besonderen sei \(\varphi\) homogen in \(a, b\) (wie oben \(\varPhi_k\)), so wird \[ \text{(II)} \qquad \varphi \left( \frac{\alpha a+\beta}{\gamma a +\delta}\,, 1 \right)=(\gamma a +\delta)^k \varphi(a, 1). \] Ist also \(k\) eine positive ganze gerade Zahl, so stellt \(\varphi(a, 1)\) eine Thetafuchssche Funktion dar, die zu der Fuchsschen Modulargruppe gehört.
Läßt sich diese Funktion \(\varphi(a, 1)\) durch eine der Thetafuchsschen Reihen des Verf. darstellen? Zunächst werden die in Betracht kommenden Thetafuchsschen Reihen nebst ihren Konvergenzbedingungen aufgestellt. Die aufgeworfene Frage läßt sich im allgemeinen bejahen, und man gewinnt so eine allgemeine Darstellungsform für die arithmetischen Invarianten. Dagegen zeigen die obigen speziellen Funktionen \(\varPhi_k(a, 1)\) ein eigentümliches Grenzverhalten; sie lassen sich nicht direkt durch Thetafuchssche Reihen darstellen, trotzdem aber unter einem gewissen Gesichtspunkt als eine Ausartung solcher Reihen auffassen. Man bilde die Reihe \[ \text{(III)} \qquad \varTheta (z, \xi)= \varSigma\;\frac 1{[(\alpha z+\beta)- \xi(\gamma z + \delta)]^{2k}}\,, \] so würde diese für \(\lim \xi=0\) zu der Funktion \(\varPhi_k(a, 1)\) werden, aber die Reihe ist dann nicht mehr gleichmäßig konvergent. Dieser Übelstand läßt sich indessen dadurch umgehen, daß man die Glieder der Reihe geeignet zusammenfaßt, nämlich immer diejenigen, die im Grenzfalle einander gleich werden. Man wird dann auf eine Reihe von der Gestalt \[ \text{(IV)} \qquad \varSigma \;\frac 1{(a+bm)^{2k}} \] geführt, wo \(m\) alle ganzzahligen Werte durchläuft; ihre Summe hat den Wert \[ - \frac 1{b^{2k}}\;(2k-1)! F_k \left( \frac ab \right), \] unter \(F_k(x)\) die \((2k-1)^{\text{te}}\) Ableitung von \(\pi {\text{\,cotg\,}}x \pi\) verstanden.
Es ergibt sich nunmehr \[ \varTheta (z, \xi)= A_k\;\frac{e^{-2i\pi / \xi}}{\xi^{2k}}\;\varSigma\;\frac 1{(\alpha z+ \beta)^{2k}}\;e^{2i \pi \frac{\gamma z+\delta}{\alpha z+\beta}}, \] wo \(A_k\) eine nur von \(k\) abhängende Konstante bedeutet und die ganzen Zahlen \(\alpha, \beta\) zueinander teilerfremd sind.
Die damit eingeführte Reihe \[ \text{(V)} \qquad \varSigma\;\frac 1{(a \alpha +b \beta)^{2k}}\;e^{2i \pi \frac{\gamma a+\delta b}{\alpha a+ \beta b}} \] stellt einen neuen wichtigen Typus arithmetischer Invarianten dar.
Die bisher betrachteten Reihen lassen sich auch in Funktion von \(g_2\) und \(g_3\) darstellen, oder auch durch die Fuchssche Funktion \[ x=f(z)= f \left( \frac {\omega'}{\omega} \right)= \frac{g_2^3}{g_2^3-27 g_3^2} \] und ihre Ableitung. Hierbei stößt man auf die bemerkenswerte Tatsache, daß es unter den Reihen (V) solche gibt, die identisch verschwinden. Überdies ist zu betonen, daß die obigen Reihen für arithmetische Invarianten versagen, wenn \(\frac ab\) reell ist, oder auch wenn \(k\) nicht eine gerade ganze Zahl ist. (Bei ugeradem ganzen \(k\) würde \(\varPhi\) identisch verschwinden.)
Das oben aufgeworfene Problem der expliziten Darstellung der Reihen durch \(x\) und \(\frac{dx}{dz}\) wird zwar nicht völlig gelöst, aber es werden wesentliche Hilfsmittel dazu entwickelt. Dahin gehören in erster Linie Beziehungen zu den Fuchsschen Funktionen.
Es wird an die früher (F. d. M. 14, 338, 1882, JFM 14.0338.01) vom Verf. eingeführten Funktionen \[ \text{(VI)} \qquad \varLambda (z)= \left( \frac{dx}{dz} \right)^{-h} \frac{\varPi (x-a_i)^{pi}}Q \] angeknüpft; hier ist \(x=f(z)\) eine Fuchssche Funktion von \(z, h\), und die \(\mu_i\) sind ganze Zahlen, \(Q\) ein ganzes Polynom in \(x\), die \(a_i\) sind die singulären Punkte der \(f(z)\) definierenden Differentialgleichung. Für den vorliegenden Fall kommen nur drei singuläre Punkte \(a_i=0, 1, \infty\) in Betracht; z. B. wird für \(h=1\) einfach \( \varLambda(z)= \frac {dz}{dx} \cdot \frac{x(x-1)}{x-x_1}\), unter \(x_1\) eine Konstante verstanden; für beliebiges \(h: \varLambda (z)= \left( \frac{dz}{dx} \right)^h \frac{x^{\lambda}(x-1)^{\lambda_1}}{F(x)} \,R(x)\), wo \(F(x)\), \(R(x)\) eine gewisse ganze, resp. rationale Funktion bedeuten.
Die Thetafuchsschen Funktionen der ersten Gattung sind von der Gestalt \[ \text{(VII)} \qquad \varTheta(z)=\left( \frac{dz}{dx} \right)^{h+1} \frac{F(x)}{x^{\lambda}(x-1)^{\lambda_1}}\,. \] Wird der Faktor von \(\left( \frac{dz}{dx} \right)^h\) in \(\varLambda(z)\) mit \(X\) bezeichnet, und sind \(x\) und \(X\) Fuchssche Funktionen, so ergibt sich, daß zwischen den Residuen von \(\varLambda(z)\) ebensoviel lineare Relationen bestehen, als es Thetafuchssche Funktionen erster Art von der Form \(\left( \frac{dx}{dz} \right)^{h+1} X\) gibt. Wird weiter \(\frac{d^{2h+1} \varLambda}{dz^{2h+1}}= Y \left( \frac{dx}{dz} \right)^{h+1}\) gesetzt, so ist auch \(Y\) eine Fuchssche Funktion. Sei jetzt irgend eine Thetafuchssche Funktion \(\varTheta\) vorgelegt, und \((2h+1)\)-malige Integration derselben liefere \(M(z)\). Setzt man \(M=X \left( \frac{dx}{dz} \right)^{-h}\), \(\varTheta(z)= Z \left( \frac{dx}{dz}\right)^{h+1}\), so wird \(Y=Z\). Hier greift nun eine bemerkenswerte Analogie mit der Theorie der Abelschen Integrale ein. Die von den Funktionen \(\varTheta\) abhängenden rationalen Funktionen \(Z\) spielen die Rolle der algebraischen Integranden, und die \(M\) die der Abelschen Integrale selbst, endlich die Polynome \(P\) die der Perioden. Dabei entstehen die \(P\) durch die Beziehung \(X'=X+ \left( \frac{dx}{dz} \right)^h P\), wo der Akzent das Resultat der Ausführung der Substitution \(z'=\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+ \delta}\) bezeichnet. Die Anzahl der unabhängigen Abelschen Integrale erster Gattung ist genau so groß wie die derjenigen zweiter Gattung, nämlich gleich \(p-1\), und die Anzahl der willkürlichen Koeffizienten in den Perioden ist doppelt so groß. Konstruiert man die Funktionen \[ \text{(VIII)} \qquad \varPhi(z,a)= \varSigma\;\frac 1{z-\frac{\alpha a+\beta}{\gamma z +\delta}}\;\frac 1{(\gamma a+\delta)^{2h+2}}, \] so repräsentieren diese Integrale zweiter Gattung bezüglich \(z\) und zugleich Thetafuchssche Funktionen von \(a\). Dieses Reziprozitätsgesetz ist eine Art von Verallgemeinerung des Satzes über die “Vertauschung von Parameter und Argument”. Im folgenden Abschnitt werden die Invarianten der definiten quadratischen Formen in Betracht gezogen. Sind \(j_1, \dots, j_p\) Invarianten einer ersten Linearform \(A=ax+by\), \(j_1', \dots, j_q'\) solche einer zweiten \(A'= a'x+ b'y\), so ist sicher jede eindeutige Funktion der \(j\) und \(j'\) eine Simultaninvariante beider Linearformen \(A, A'\). Aber dies sind nur spezielle Invarianten der in Rede stehenden Art, da sie auch ungeändert bleiben, wenn die beiden Linearform \(A, A'\) verschiedenen Substitutionen unterworfen werden. Um zu weiteren Simultaninvarianten zu gelangen, bilde man eine Reihe linearer Kombinationen \(F_i= (ax+by)+\xi_i(a'x+b' y)\) \((i=1, \dots, p)\); sind \(j_1, \dots, j_p\) Invarianten von \(F_1, \dots, F_p\), so ist wiederum jede eindeutige Funktion der \(j\) eine Invariante von \(A, A'\).
Noch zweckmäßiger ist die Bildung der quadratischen Form \[ Q= (ax+by)(a'x+b'y)= aa'x^2+(ab'+ba')xy +bb'y^2; \] jede Funktion von \(aa'\), \(ab'+ba'\), \(bb'\), die eine arithmetische Invariante von \(A, A'\) ist, ist auch eine solche der quadratischen Form \(Q\), und umgekehrt.
Nach Analogie des Früheren betrachte man insbesondere Invarianten \(F(z, z')\), die nur von den beiden Verhältnissen \(\frac ab=z\), \(\frac{a'}{b'} =z'\) abhängen, so daß \[ \text{(IX)} \qquad F \left(\frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta},\;\frac{\alpha z'+\beta}{\gamma z'+\delta} \right) = F(z,z') \] wird.
Unter diesen Funktionen sind solche, die in \(z\) und \(z'\) symmetrisch sind, Invarianten von \(Q\). Man könnte zunächst glauben, daß es Funktionen \(F(z,z')\) gäbe, die nur solche singulären Punkte besitzen, für die \(z\) und \(z'\) zugleich reell sind; aber solche Funktionen existieren nicht. Man bilde jetzt zunächst das Analogon zu den Thetafuchsschen Reihen: \[ \text{(X)} \qquad \varSigma H \left( \frac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}\;\frac{\alpha z'+\beta}{\gamma z'+\delta} \right) \cdot (\gamma z+\delta)^{-2m} (\gamma z'+\delta)^{-2m}, \] wo \(H(z,z')\) eine rationale Funktion bedeutet, und stelle deren Konvergenzbedingungen auf. Ist \(H(z,z')\) symmetrisch in \(z,z'\), so erhält man durch \[ \text{(XI)} \qquad \varTheta(a, b, a', b')=\varSigma H(\alpha a+\beta b, \gamma a+\delta b, \alpha a'+\beta b', \gamma a'+\delta b') \] eine Invariante von \(Q\). Eine andere Gattung von Invarianten wird repräsentiert durch die Reihen \[ \text{(XII)}\qquad \varSigma\;\frac 1{(\gamma a+\delta b)^s (\gamma a'+\delta b')^s}\,, \] wo \(\gamma, \delta\) alle ganzen Zahlen (exkl. 0, 0) durchlaufen, und \(s\;(>1)\) eine beliebig gegebene ganze Zahl ist. Schwierig ist die Untersuchung der wesentlich singulären Stellen solcher und ähnlicher Reihen; es zeigt sich, daß diese Stellen im allgemeinen “lacunäre” Gebiete bilden. Sodann erhebt sich die fundamentale Frage nach den Beziehungen zwischen derartigen Reihen. Sind z. B. \(\varTheta_1, \varTheta_2, \varTheta_3, \varTheta_4\) vier Reihen von der Gestalt (XI) mit demselben \(M\); existiert dann, in Analogie zu einem Satze über die Thetafuchsschen Reihen, eine homogene algebraische Relation \[ \text{(XIII)} \qquad F(\varTheta_1, \varTheta_2, \varTheta_3, \varTheta_4)=0? \] Die Folge würde sein, daß z. B. das Verhältnis \(\frac{\varTheta_3}{\varTheta_4}\) unverändert bliebe, wenn \(a,b\) und \(a', b'\) identische oder auch verschiedene lineare Substitutionen erlitten, was ersichtlich nicht eintreten kann. Somit kann im allgemeinen eine algebraische Relation zwischen der \(\varTheta\) nicht existieren.
Aus den bisher erhaltenen Invarianten der Linearformen \(A, A'\) lassen sich vermöge der bekannten Differentiationsprozesse der formalen Invariantentheorie weitere arithemtische Invarianten gewinnen. Unter diesen befindet sich auch eine Klasse von solchen, die auf elliptische Funktionen führen. Im ganzen erkennt man, daß die Invarianten der quadratischen Formen eine weit umfassendere Mannigfaltigkeit bilden, als die der einzelnen Linearform. Im besonderen ist zu beachten, daß, während bei den damaligen Reihen der Exponent \(k\) eine ganze Zahl sein mußte, gegenwärtig z. B. bei der Reihe (XII) der Exponent \(s\) ein beliebiger Bruch sein darf, wenigstens dann, wenn \(\frac ab\) und \(\frac{a'}{b'}\) konjugiert komplex sind.
Der nächste Abschnitt ist weiteren Beziehungen zu den Abelschen Funktionen gewidmet. Den Ausgang bildet die auch oben (in etwas anderer Bezeichnung) unter (XII) aufgeführte Dirichletsche Invariante \[ (\text{XII}') \qquad J(s)=\varSigma\;\frac 1{(am^2+2bmn+ cn^2)^s}\,. \] Allgemeiner wird an deren Stelle gesetzt \(\varSigma \varphi(am^2+2bmn+cn^2)\), bei beliebiger Funktion \(\varphi\), und insbesondere \[ \text{(XIII)} \qquad F(q)= \varSigma q^{am^2+2bmn+cn^2}. \] Diese Invariante würde genau so, wie die spezielle (\(\text{XII}'\)), zur Untersuchung der Klassenanzahlrelationen für die quadratischen Formen \((a, b, c)\) dienen können. Andererseits erscheint \(F(q)\) als spezieller Fall der \(\varTheta\)-Funktion \[ \text{(XIV)} \qquad \varTheta=\varSigma e^{i(mx+ny)} q^{am^2+2bmn+cn^2}, \] nämlich für \(x=y=0\). Für das Folgende wird das Verhalten von \(\varTheta\) für Werte von \(q\) in der Nachbarschaft von 1 von Wichtigkeit, wobei als Hülfssatz benutzt wird, daß für \(q= e^{-t}\) die Reihe (XIV) der Differentialgleichung \[ \text{(XV)} \quad \frac{\partial \varTheta}{\partial t}= a \;\frac{\partial^2 \varTheta}{\partial x^2}+ 2b\;\frac{\partial^2 \varTheta}{\partial x \partial y} +c\;\frac{\partial^2 \varTheta}{\partial y^2} \] genügt, und physikalische Vorstellungen herangezogen werden. Es ergibt sich für Werte von \(q\) nahe an 1, daß \(F(q)=\frac{2 \pi}{t(\alpha \delta-\beta \gamma)}\) wird, somit \(F(q)\) nur von der Determinante \(b^2-ac= -\frac 14(\alpha \delta-\beta \gamma)^2\) der quadratischen Form abhängt. Dies ist genau das Analogon zu der von Dirichlet mit großem Erfolge benutzten Eigenschaft seiner Funktion \(J(s)\). Man setze \(\alpha \delta-\beta \gamma=E\), \(t-2i\pi u\), \(F(e^{-t})=\varPhi(u)\), so besitzt \(\varPhi(u)\) die beiden Eigenschaften \[ \text{(XVI)} \qquad \varPhi(u)=\frac{-i}{Eu}\;\varPhi \left( \frac{-1}{E^2u} \right), \quad \varPhi(u+1)=\varPhi(u). \] Somit ist \(\varPhi^2(u)\) eine Thetafuchssche Funktion derjenigen Fuchsschen Gruppe, die durch die beiden Substitution \((u, u+1)\) und \(\left( u, \frac{-1}{E^2u} \right)\) erzeugt wird. Es wird gezeigt, wie diese Betrachtungen in die Untersuchungen von Dirichlet über die Darstellungen von Zahlen durch quadratische Formen eingreifen und sie umfassen.
Sodann wendet sich der Verf. zu den Invarianten der indefiniten quadratischen Formen. Die bisherigen Invarianten waren stetige Funktionen der Koeffizienten einer Form \((a,b,c)\) und blieben ungeändert gegenüber einer beliebigen linearen Transformation mit ganzzahligen Koeffizienten, gleichgültig ob die Determinante der Form eine ganze oder gebrochene Zahl ist. In diesem Sinne läßt sich der Gegriff der Invariante für indefinite Formen nicht aufrecht erhalten. Die Koeffizienten der eigentlich primitiven indefiniten Form \(F(m,n)=am^2+2bmn+cn^2\) seien ganzzahlig, und ebenso deren Determinante \(D=b^2-ac\) eine bestimmte ganze Zahl, so lassen sich nach dem Vorgang von Dirichlet unstetige Funktionen jener Koeffizienten bilden, die im übrigen den Charakter arithmetischer Invarianten besitzen. Die Pellsche Gleichung \(x^2-Dy^2=1\) besitzt bekanntlich unendlich viele, durch \(x \pm y \sqrt D=(t \pm u \sqrt D)^\mu\) dargestellte Lösungen, und \(F\) geht in sich über durch die lineare ganzzahlige Transformation \(T:[m,n; (t-bu)m-cun, aum+(t+bu)n]\). Dies läßt sich auch so darstellen, daß \(F\) als die Norm eines Ausdruckes von der Form \(Am+Bn\) erscheint, wo \(A, B\) als irgend zwei komplexe Zahlen \(\alpha+\alpha' \sqrt D\), \(\beta+\beta' \sqrt D\) \((\alpha \beta'- \alpha' \beta=1)\) aufgefaßt werden. Man stelle eine komplexe Zahl \(x+y\sqrt D\) durch einen Punkt mit den Koordinaten \(x, y\) dar und betrachte die darstellenden Punkte der Zahlen \(Am+Bn\), wo \(m,n\) alle ganzzahligen Werte durchlaufen;sie bilden ein Gitter und lassen sich auf unendlich viele Arten in unendlich viele Parallelstreifen zerlegen, entsprechend der obigen linearen Transformationen. Andererseits läßt sich aber auch die Ebene nach einem ähnlichen Prinzip in unendlich viele Winkelfelder \(\omega\) einteilen.
Versteht man jetzt unter \(\varphi(x)\) irgend eine eindeutige Funktion von \(x\), so konstruiere man die Reihe \(\varSigma \varphi[F(m,n)]\), erstreckt über alle Gitterpunkte innerhalb eines gewissen Ausgangs-Winkelfeldes \(\omega_0\). Unter der Voraussetzung der Konvergenz stellt jene Reihe (bei ganzzahligen \(a,b,c\)) eine arithmetische Invariante von \(F\) dar. Man nehme nunmehr \(\varphi(x)=\frac 1{x^s}\) für \(x>0\), \(\varphi(x)=0\) für \(x<0\), so konvergiert die Invariante \[ \text{(XVII)} \qquad I(s)=\sum\;\frac 1{F^s} \quad {\text{für}} \quad s>1. \] Weiter werden, wie früher, die Reihen untersucht von der Form \[ \text{(XVIII)} \qquad \sum q^{am^2+2bmn+cn^2} x^m y^n= \psi(x, y; m, n), \] nur daß die Form \(F(m,n)\) jetzt indefinit ist; für gewisse Ungleichheiten, die den \(m, n\) aufzuerlegen sind, konvergiert die Reihe. Durch geeignete Kombination solcher Reihen erhält man andere, die sich durch elliptische Funktionen ausdrücken lassen. Verfolgt man diesen Weg weiter, so gelangt man auch zu Invarianten gewisser Kongruenzgruppen, die in der ursprünglichen als Untergruppen enthalten sind. Auch diese Untersuchungen treten in spezieller Form schon bei Dirichlet auf. So erscheint die vorliegende Abhandlung in eigentlichem Sinne als eine Weiterführung der grundlegenden Begriffe und Methoden Dirichlets in der Theorie der quadratischen Formen.

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Full Text: DOI Crelle EuDML