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Note on the definitions of abstract groups and fields by sets of independent postulates. (English) JFM 36.0191.01

Verf. gibt zunächst eine Übersicht sämtlicher Definitionen einer abstrakten Gruppe durch voneinander unabhängige Postulate. Zu den bereits bekannten fügt er eine weitere Definition durch sechs unabhängige Postulate; diese Definition ist eine Modifikation der zweiten von E. H. Moore im Jahre 1902 gegebenen, auf die auch der zuletzt genannte Forscher in dem weiter unten besprochenen Aufsatze zurückgekommen ist. Bei Hinzufügung eines weiteren Postulats über die Kommutabilität der Gruppenelemente bleiben diese sechs Postulate noch unabhängig; hingegen werden zwei von ihnen, wenn man eine endliche Anzahl von Gruppenelementen postuliert, überflüssig. Auf Grund der für eine Gruppe gewonnenen Postulate definiert Verf. auch ein Feld oder einen Körper abstrakt mittels 13 voneinander unabhängiger Postulate als ein System von Elementen, die durch zwei Operationen, Multiplikation und Addition, verknüpfbar sind. Das Feld wird noch kürzer durch zehn Postulate definiert. Erinnert sei, daß sowohl der Verf., als auch L. E. Dickson bereits früher (F. d. M. 34, 160, 161, 1903, JFM 34.0160.02) das Feld abstrakt durch unabhängige Postulate definiert haben. Zum Schluß gibt Verf. noch weitere Definitionen einer abstrakten Gruppe, die Modifikation einer früher von ihm gegebenen (American M. S. Bull. (2), 8, 296; F. d. M. 33, 142, 1902, JFM 33.0142.02, und American M. S. Trans. 4, 30; F. d. M. 34, 162, 1903, JFM 34.0162.01) sind. Er bedient sich hierbei anstatt der Kompositionsgleichung \(ab=c\) (\(c\) ist das Produkt von \(a\) und \(b\)) des Begriffes der triadischen Relation \(R\) \((abc)\), auf den Bôcher hingewiesen hat (American M. S. Bull. 11, 126). \(R\) \((abc)\) soll bedeuten, die Elemente \(a, b, c\) befriedigen eine gegebene Relation \(R\). Wir begnügen uns, beispielsweise ein Postulat anzuführen: Sind \(b\) und \(c\) Gruppenelemente, so soll es in der Gruppe ein Element \(a\) geben, daß \(R\) \((abc)\) besteht. Die übliche Form würde lauten: Sind \(b\) und \(c\) Gruppenelemente, so soll es in der Gruppe ein Element \(a\) geben, daß \(ab=c\) ist.

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