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On criteria for the finiteness of the order of a group of linear substitutions. (English) JFM 36.0199.02
Für jede endliche Gruppe \(G\) linearer homogener Substitutionen mit Koeffizienten \(\alpha+i \beta\) (\(a\) und \(\beta\) reell, \(i=\sqrt{-1}\)) existieren zwei positive endliche Zahlen \(m\) und \(M\), daß für jeden Koeffizienten jeder Substitution von \(G\) erstens \(| \alpha |<M\), \(| \beta|<M\) und zweitens entweder \(\alpha=0\) oder \(| \alpha |>m\), \(\beta=0\) oder \(|\beta |>m\). Verf. zeigt, daß die Existenz zweier derartiger Zahlen \(m\) und \(M\) (eine ist nicht genügend) eine Gruppe als eine solche von endlich vielen linearen homogenen Substitutionen charakterisiert. Verf. beweist ferner allgemein den zuerst vom Referenten mit einer Einschränkung bewiesenen Satz (Math. Ann. 53, 225; F. d. M. 31, 130, 1900, JFM 31.0130.01): “Eine Gruppe linearer homogener Substitutionen einer endlichen Anzahl \(n\) von Variabeln ist stets und nur dann endlich, wenn die Ordnung jeder Substitution gleich oder kleiner als eine endliche Zahl \(m\) ist.” Verf. zeigt schließlich: “Hat eine Gruppe linearer homogener Substitutionen einer endlichen Anzahl \(n\) von Variabeln nur eine endliche Anzahl Klassen konjugierter Substitutionen, so ist die Gruppe endlich.”

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