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On the distribution of the zeros of Riemann’s function \(\xi(t)\). (Zur Verteilung der Nullstellen der Riemannschen Funktion \(\xi(t)\).) (German) JFM 36.0263.02

Riemann hat für die Anzahl der Nullstellen der \(\xi\)-Funktion, deren reelle Teile zwischen 0 und \(T>0\) enthalten sind, den Näherungswert abgegeben: \[ \frac T{2\pi}\;\lg\;\frac T{2\pi}- \frac T{2\pi}\,. \]
Der Verf. hat in einer früheren Arbeit (J. für Math. 114, 255-305; F. d. M. 26, 215, 1895, JFM 26.0215.03) gefunden, daß der Fehler bei dieser Abschätzung kleiner bleibt (für \(T>12\)) als \[ \text{0,34} (\lg T)^2+ 1,35 \cdot \lg T +\text{2,58}. \] Die vorliegende Arbeit verbessert diese Angabe, indem für die angegebene Differenz für \(T>\text{28,558}\) die obere Grenze \[ \text{0,43200} \lg T+ \text{1,91662} \lg \lg T +\text{13,07873} \] gefunden wird, die also nur bis zur Größenordnung von \(\lg T\) geht.

MSC:

11M26 Nonreal zeros of \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\); Riemann and other hypotheses
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)

Citations:

JFM 26.0215.03
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References:

[1] B. Riemann, Monatsberichte der Berliner Akademie 1859, S. 671=Gesammelte Mathematische Werke, Leipzig, 1. Auflage, 1876, S. 136; 2. Auflage, 1892, S. 145.
[2] H. v. Mangoldt, Journal f. d. r. u. a. Math. 114, 1895, S. 266.
[3] T.-J. Stieltjes, Journal de Mathématiques pures et appliquées (4) 5, 1889, S. 431, Formel (20).
[4] T.-J. Stieltjes, a. a. O., S. 433, Formel (26).
[5] v. Mangoldt, Journal f. d. r. u. a. Math. 114, 1895, S. 265.
[6] Vgl. H. v. Mangoldt, Journal f. d. r. u. a. Math. 114, 1895, S. 258f.
[7] J. P. Gram, Mémoires de l’Académie Royale de Copenhague (6) 2, 1884, S. 269.
[8] Ch.-J. de la Vallée Poussin, ?Sur la fonction ?(s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée?, Mémoires couronnés et autres Mémoires publiés par l’Académie royale de Belgique, Bd. 59, 1899, S. 23.
[9] J.-P. Gram, ?Note sur les zéros de la fonction ?(s) de Riemann?, Bulletin de l’Académie royale des sciences et des lettres de Danemark, 1902, S. 8. · JFM 33.0213.01
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