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On some inequalities in the theory of Riemann zeta function. (Sur quelques inégalités dans la théorie de la fonction \(\zeta (s)\) de Riemann.) (French) JFM 36.0263.03

Mellin hat für die \(\zeta\)-Funktion die Relationen bewiesen: \[ \begin{aligned} &| \zeta (\sigma+ti)|=O(t^{1-\sigma}), \quad \text{wenn} \quad 0<\sigma<1,\\ & |\zeta (\sigma+ti)|=O(\lg t), \quad \text{wenn} \quad \sigma=1,\end{aligned} \] wo \(\sigma, t\) Variabeln sind und \(O(g(t))\) eine Funktion ist, für die \[ \lim_{t=\infty}\;\frac{O(g(t))}{g(t)} \] zwischen endlichen Grenzen bleibt. Diese Betrachtung hat Mellin verfeinert, indem er noch die folgende Relation hinzufügte: \[ |\zeta (\sigma+ti)|=O(\sqrt t), \quad \text{wenn} \quad 0<\sigma< \tfrac 12. \] Dem Verf. gelingt es, diese Mellinschen Relationen durch die beiden folgenden, noch genaueren, zu ersetzen: \[ |\zeta (\sigma +ti)|=O(t^{\frac 12 - \frac 14 \sigma} \sqrt{\lg t} ), \quad \text{wenn} \quad 0< \sigma \leqq \tfrac 12, \]
\[ |\zeta (\sigma+ti)|=O(t^{\frac 34(1-\sigma)} \sqrt{\lg t}), \quad \text{wenn} \quad \tfrac 12 \leqq \sigma <1. \] Zum Beweise wird wesentlich in den auftretenden Reihenentwicklungen der Voronoïsche Satz über die Funktion \[ \tau(x)=\sum_{n=1}^x \left[ \frac xn \right] \] angewendet, daß nämlich \[ \tau (x)=x \lg x +(2C-1)x +O ( \root 3 \of x \lg x). \] Im letzten Abschnitt beweist der Verf. für die Funktion \[ Q(x)= \sum_{n=1}^x \,\{ \mu(n) \}^2 \] die Beziehung: \[ Q(x)= \frac 6{\pi^2} \;x+ O \left( \frac {\sqrt x}{\lg \lg x} \right). \]

MSC:

11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11N25 Distribution of integers with specified multiplicative constraints
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Full Text: DOI Numdam EuDML