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Sur une inégalité relative à la connexion linéare et sur le calcul de genre numérique d’une surface algébrique. (French) JFM 36.0486.01
Sei \(f(x, y, z)=0\) die Gleichung einer algebraischen Fläche vom Grade \(m\), und sei \(r\) die Anzahl der Integrale totaler Differentiale zweiter Art der Fläche. Ferner sei \(p_g\) das geometrische und \(p_n\) das numerische Geschlecht der letzteren. Alsdann hat Castelnuovo gezeigt, daß \(r= 2(p_g -p_n)\) ist. Benutzt man den von Enriques eingeführten Begriff des Defektes, er werde mit \(\omega_h (h\geqq m -3)\) bezeichnet, so beweist Picard in der vorliegenden Note, daß \(r \leqq 2 \omega_{m-3}\) ist. Daraus folgt sofort mit Benutzung der Castelnuovoschen Relation \(p_g -p_n \leqq \omega_{m-3}\). Es ist aber nach Enriques \(p_g-p_n= \sum_{m-3} \omega_h\); also ergibt sich das äußerst überraschende Resultat, daß \(p_g-p_n= \omega_{m-3}\) ist.

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