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Riemannsche Flächen im ebenen Raum von vier Dimensionen. (German) JFM 36.0717.05

Progr. (Nr. 707) Karlsgymn. Heilbronn. 49 S. \(8^\circ\) (1905).
Ist \(z+it\) eine Funktion von \(x+iy\), so führt die Auffassung von \(x,y,z,t\) als Koordinaten im vierdimensionalen Raum zu der im Titel erwähnten geometrischen Vorstellung.
“Das erste Kapitel behandelt die Krümmungsverhältnisse allgemeiner zweidimensionaler Flächen des \(R_4\);\(\dots\)” “Im zweiten Kapitel werden speziell die \(R\)-Flächen (d. h. die vom Verf. als Riemannsche Flächen bezeichneten) untersucht: dieselben sind geometrisch und funktionentheoretisch interessant.” Die Krümmungsverhältnisse sind hier besonders einfach. “Weiter zeigt sich; daß die \(R\)-Flächen Mimmalflächen des \(R_4\) sind; man erhält so eine geometrische Deutung für das Dirichletsche Prinzip und den Greenschen Satz. Durch Projektion einer \(R\)-Fläche in eine Schar dreidimensionaler Räume erhält man eine Schar gewöhnlicher Flächen, die wir assoziierte Projektionsflächen genannt haben, weil sie in naher Beziehung zu einer Schar assoziierter Minimalflächen stehen. Die Projektionsflächen sind alle auf einander flächentreu bezogen, haben in entsprechenden Punkten dasselbe Krümmungsmaß und besitzen quadrierbare Asymptotenlinien” (vgl. dazu Flächen von Dini, v. Lilienthal und einige Modelle von Dyck).
“\(\dots\) Die \(R\)-Fläche vermittelt so in einfacher Weise die konforme Abbildung der \(XY\)-Ebene auf die \(ZT\)-Ebene. Die Tangential- und Normalebenen der \(R\)-Flächen sind eigentümlich im \(R_4\) orientierte Ebenen und bilden einen Komplex. Die Gültigkeit des Cauchyschen Integralsatzes ist eine Folge dieser Orientierung der Tangentialebenen der \(R\)-Flächen.”
Das Produkt zweier komplexen Größen wird schließlich als Rechteck im \(R_4\) gedeutet, wodurch auch eine geometrische Interpretation des Integrals \[ \int F(x+iy)(dx+idy) \] ermöglicht wird. – Soweit die in der Vorrede gegebene Übersicht.