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Contribution à la théorie des systèmes linéaires. (French) JFM 37.0186.01

Zürich. 62 S. \(8^{\circ}\) (1906).
Der Verf. beginnt damit, an die Bezeichnungen und Definitionen zu erinnern, welche die Theorie der Linearsysteme Cayley und Laguerre verdankt. Des letzteren Brief an Hermite (J. de l’Éc. Pol. 62) dürfte durch seine lichtvolle Darstellung besonders geeignet sein, in diese Theorie schnell einzuführen. Unter einem Linearsystem versteht man die Matrize \(A=(a_{ik})[i=1,2,\dots ,n;k=1,2,\dots ,m]\) oder die Gesamtheit der Koeffiezienten der \(m\) Variablen \(x\), die in der linearen Substitution \[ y_i=a_{i_1}x_1+a_{i_2}x_2+\dotsm +a_{im}x_m \] auftreten. Für \(n=m\) nennt man das Linearsystem quadratisch und von der Ordnung \(n\). Nun genügt, wie Cayley zuerst gefunden, jede solche Matrize \(M=(a_{ik})[i,k=1,2,\dots ,n]\) einer algebraischen Gleichung \(\varphi (M)=0\), deren Koeffizienten gewöhnlichen Zahlen sind, die von den Elementen \(a_{ik}\) abhängen. Ist also \(M=\begin{matrix} a_{11}\,\,a_{12} \\ \,\,a_{21}\,\,a_{22} \end{matrix} ,\lambda =\begin{matrix} \lambda\,\, 0 \\ 0\,\, \lambda \end{matrix}\), so ist \(M-\lambda =\begin{matrix} a_{11}-\lambda\,\,\,\, a_{12}\quad\quad \\a_{21}\,\,\,\quad\quad a_{22}-\lambda\end{matrix}\) und die Determinante dieses Systems gleich \(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}-\lambda (a_{11}+a_{22})+\lambda^2\); demnach \(M^2-(a_{11}+a_{22})M+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0\); denn in der Tat besteht die Identität: \[ \begin{split} \begin{matrix} a_{11}^2+a_{12}a_{21} & a_{12}(a_{11}a_{22}) \\ a_{21}(a_{11}+a_{22}) & a_{22}^2+a_{12}a_{21} \end{matrix} -(a_{11}+a_{22}) \begin{matrix} a_{11}\,\,a_{12} \\ a_{21}\,\,a_{22} \end{matrix} \\ +\begin{matrix} a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} & 0 \\ 0 & a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \end{matrix} =0. \end{split} \] Im zweiten Kapitel werden zwei Systeme betrachtet, deren Produkt die kommutative Eigenschaft besitzt, und welche demnach quadratisch sein müssen. Der Verf. entwickelt, wie man zu Systemen gelangen kann, die mit einem vorgegebenen System \(A\) vertauschbar sein sollen. Auch bestimmt er die Anzahl der willkürlichen Parameter, welche in die allgemeine Form des mit \(A\) vertauschbaren Systems eingehen.
Das dritte Kapitel liefert die Bestimmung sämtlicher Lösungen der Gleichung \(\varphi (X)=A\). Zunächst werden die Lösungen in Klassen eingeteilt derart, daß die Linearsysteme einer Klasse einander ähnlich sind, zwei Systeme aber, welche verschiedenen Klassen angehören, nicht ähnlich sind. Nachdem die Anzahl dieser Klassen bestimmt ist, wird für jede ein Repräsentant gesucht, aus dem alle Systeme der entsprechenden Klasse, also auch sämtliche Lösungen der vorgelegten Gleichung, hervorgehen.
Die allgemeine Theorie erlaubt auch, die Frage nach denjenigen Lösungen zu beantworten, die sich in Form ganzer Funktionen von \(A\) darstellen.
Es verdient noch hervorgehoben zu werden, daß die sehr verdienstliche Untersuchung auf Veranlassung von Hurwitz angestellt worden ist, aus dessen Kolleg auch eine Reihe neuer Bezeichnungen mitgeteilt wird.