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Allgemeiner Existenzbeweis für den Klassenkörper eines beliebigen algebraischen Zahlkörpers. (German) JFM 37.0243.02
Die Arbeit bringt den Beweis der Existenz des Klassenkörpers. Gegeben ein beliebiger algebraischer Körper \(k\) mit der Klassenanzahl \(h\). Dann versteht man unter dem Klassenkörper \(K\) von \(k\) einen Oberkörper, dessen Relativgruppe Abelsch und mit der Gruppe der Klassen von \(k\) holoedrisch isomorph und dessen Relativdiskriminante gleich 1 ist. Das letztere drückt man auch so aus: der Körper \(K\) ist unverzweigt.
Um die Existenz zu zeigen, greift der Verf. eine bestimmte Primzahl aus \(h\) heraus und beweist die Existenz von zyklischen Relativkörpern, deren Relativgrade Potenzen von \(l\) sind. Hierzu ist zunächst die Annahme notwendig, daß \(k\) eine \(l\)-te primitive Einheitswurzel enthalte. Bestimmt man dann die singulären Primärzahlen \(\omega_1,\omega_2,\dots ,\omega_e\), so läßt sich mittels Dirichletscher Reihen beweisen, daß die Körper \((\root l \of{\omega}, k)\) unverzweigt in bezug auf \(k\) sind. Dieses Verfahren wird so oft fortgesetzt, als es die Potenz von \(l\), die in \(h\) enthalten ist, erfordert. Der Fall \(l=2\) verlangt eine besondere Betrachtung, da er es erforderlich macht, den Äquivalenzbegriff schärfer zu fassen. Aus der so bewiesenen Tatsache folgt die Existenz auch für jeden Körper, der keine \(l\)-te Einheitswurzel enthält.
Eine Anwendung dieses Satzes ergibt, daß der hier konstruierte Körper im Falle, daß \(k\) ein quadratisch imaginärer Körper ist, identisch ist mit demjenigen Klassenkörper der komlpexen Multiplikation, der zu dem imaginär quadratischen Körper selbst gehört. Schließlich ergibt die Existenz des Klassenkörpers auch, verbunden mit den Weberschen Untersuchungen über Zahlgruppen, den Beweis, daß in jeder Klasse von \(k\) unendlich viele Primideale sind.

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References:
[1] Math.-physik. Klasse 1903, Heft 4 und Heft 5, 1904, Heft 3.
[2] Grundz?ge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Gr??en, Journal f?r die reine und angew. Math. 92 (1882), p. 1; speziell sei auf p. 65-68 verwiesen.
[3] Er sagt (l. c. Journal f?r die reine und angew. Math. 92 (1882), p. 68), da? er zur aprioristischen Erkenntnis, n?mlich zu einer von der analytischen Entstehung unabh?ngigen Auffassung der Natur jener den Gattungen \(\sqrt { - n} \) assoziierten Gattungen gelangt sei und damit Gesichtspunkte f?r das Studium der allgemeinen Frage dieser Art der Assoziation gewonnen habe.
[4] ?ber die Theorie der relativ-Abelschen Zahlk?rper. Nachr. v. d. Kgl. Ges. d. Wiss. zu G?ttingen, Math.-physik. Kl. 1898, p. 370; abgedruckt in Acta Math., Bd. 26.
[5] Math. Ann. 49 (1897), p. 83. · JFM 28.0614.08
[6] Hilbert, Rel. quadr. Zahlk., ? 22, p. 53.
[7] Hilbert, Algebr. Zahlk., Satz 152, p. 426. (?) l bedeutet dasl te Potenzrest-symbol.
[8] Rel. Abelsche Zahlk., p. 382.
[9] Furtw?ngler, Reziprozit?tsgeseiz, p. 7, Satz 6.
[10] ?ber die Definition der Komplexe und speziell der ambigen Komplexe vgl. Hilbert, Rel. quadr. Zahlk., ? 12, p. 22.
[11] Hilbert, Algebr. Zahlk., ? 55, p. 272.
[12] Hilbert, Algebr. Zahlk., ? 146, p. 448, Hilfssatz 32.
[13] Furtw?ngler, Reziprozit?tsgesetz, p. 23.
[14] Furtw?ngler, Reziprozit?tsgesetz, Satz 15, p. 16.
[15] Furtw?ngler, Reziprozit?tagesetz, p. 24.
[16] Rel. Abelsche Zahlk., ? 5.
[17] Prim?r nennen wir eine zu 2 prime Zahl, wenn sie dem Quadrat einer Zahl ausk nach dem Modul 4 kongruent ist; dagegen fordern wir nicht, da? sie total positiv sei, wie D. Hilbert f?r die Aufstellung der Reziprozit?tsgesetze im K?rperk definiert hat. In diesem Sinne sind auch seine Ausf?hrungen auf p. 378 der Rel. Abelschen Zahlk., speziell Satz 9, zu berichtigen, da an dieser Stelle ebenfalls die obige Definition der prim?ren Zahl anzuwenden ist.
[18] Algebr. Zahlk., ? 55, p. 572.
[19] Vgl. Hilbert, Rel. Abelsche Zahlk., ? 6, p. 376.
[20] Vgl. H. Weber, Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen, Braunschweig 1891, III. Teil.
[21] H. Weber, l. c., Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen, Braunschweig 1891, III. Teil. p. 444 u. 445. · JFM 23.0455.01
[22] Furtw?ngler, Reziprozit?tsgesetz, Satz 26, p. 28.
[23] H. Weber, ?ber Zahlengruppen in algebraischen K?erpern. Math. Ann. 49 (1897), p. 83. · JFM 28.0083.05 · doi:10.1007/BF01445362
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