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Sur quelques points du calcul fonctionnel. (French) JFM 37.0348.02
Palermo Rend. 22, 1-74 (1906); auch sep. (Thése) Paris: Gauthier-Villars (1906).
Die umfangreiche und bedeutsame, eine Fülle neuer Sätze enthaltende Arbeit, die der Verf. der Faculté des sciences zu Paris als “Thèse” vorgelegt hat, bildet eine systematische Zusammenfassung und Weiterführung der zahlreichen Einzeluntersuchungen, die der Verf. in den Jahren 1904 und 1905 an verschiedenen Stellen veröffentlicht hat, und über die an diesem Orte berichtet worden ist. [Vgl. Amer. M. S. Trans. 5, 493-499 (F. d. M. 35, 389-390, JFM 35.0389.03); ebenda 6, 134-140 (F. d. M. 36, 449-450, JFM 36.0449.04); ebd. 6, 435-449 (F. d. M. 36, 661, JFM 36.0661.02); Annali di Mat. (3) 11, 187-199 (F. d. M. 36,431-432, JFM 36.0431.03); C. R. 140, 27-29 (F. d. M. 36, 449, JFM 36.0449.02); ebd. 140, 567-568 (F. d. M. 36, 492, JFM 36.0492.01); ebd. 140, 772-774 (F. d. M. 36, 449, JFM 36.0449.03); ebd. 141, 873-875 (F. d. M. 36, 104, JFM 36.0104.01)]. Das Referat über die vorliegende Abhandlung darf sich demgemäß, um nicht in Wiederholungen zu verfallen, darauf beschränken, die allgemeine Gliederung der Abhandlung anzugeben.
Nach einer kurzen Einleitung folgen zwei Teile und zwei Noten. Der erste Teil ist theoretischer Natur und betrifft die Einführung des Grenzbegriffs in die abstrakten Mengen. Von den beiden Kapiteln dieses Teiles behandelt das erste: Allgemeine Begriffe über die Mengen von Elementen einer Klasse; die stetigen Operationen; die Reihen stetiger Operationen; die abgeleiteten Mengen. Das zweite Kapitel befaßt sich mit der Definition der Grenze durch die Umgebung, mit den normalen Klassen und mit der Definition der Stetigkeit mittels der Umgebung. Der zweite Teil ist Anwendungen der allgemeinen Theorie gewidmet und umfaßt fünf Kapitel. Im ersten derselben werden die linearen Mengen und die Funktionen einer Veränderlichen, im zweiten die Mengen stetiger Funktionen und die Funktionale behandelt. Das dritte Kapitel betrifft Untersuchungen über Mengen und Funktionen von Punkten eines Raumes mit unendlich vielen Dimensionen, das vierte Funktionen, die im Innern eines Gebietes holomorph sind, und das letzte Mengen stetiger Kurven und Linienfunktionen.
Die beiden beigegebenen Noten enthalten die Konstruktion einer stetigen, nicht abnehmenden Funktion, die nur in gegebenen Intervallen konstant ist, und eine Untersuchung über die wirkliche Berechnung des Abstandes zweier Kurven.
Zur Kennzeichnung der Bedeutung vorliegender Arbeit für die neuere Entwicklung der Mengenlehre sei auch verwiesen auf Kap. VII des Berichtes: Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, von A. Schoenflies; zweiter Teil. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Ergänzungsband II; Leipzig 1908.

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References:
[1] Voir par exemple ii, pages i, 2; et iii, pages 27, 28.
[2] Voir plus loin un exemple d’ensemble compact (n{\(\deg\)} 86) et d’ensemble non compact (n{\(\deg\)} 85).
[3] Voir pour la signification de cette expression: ii, page 16.
[4] La démonstration suivante est une généralisation de celle qui a été donnée pour le cas oùE est un ensemble de points du plan, parM. Zoretti (xxiii, page 5).
[5] On pourrait aussi procéder comme au n{\(\deg\)} 72 en utilisant le développement d’une fonction continue en série de polynomes (ii, page 50).
[6] M. Montel est depuis longtemps en possession de la condition suffisante qui lui a servi pour établir certaines propositions énoncées dans une Note des Comptes Rendus (xxv).
[7] Un cas particulier de ce théorème a été démontré directement parM. Hilbert (xx). Puis la généralisation a été effectuée parM. Lebesgue dans sa Thèse (xvii).
[8] Nous utilisons cette proposition au n{\(\deg\)} 84.
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