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On the strong maxima and minima of simple integrals. (Über die starken Maxima und Minima bei einfachen Integralen.) (German) JFM 37.0396.01
Zur Beantwortung der Fragen, die sich ergeben, wenn man verlangt, zwei Punkte eines gegebenen Gebietes \(T\) durch eine Kurve, die \(T\) nicht verläßt, so zu verbinden, daß ein gegebenes Kurvenintegral, längs dieser Kurve genommen, einen kleineren Wert hat als längs einer beliebigen andern Kurve in \(T\) zwischen denselben Endpunkten, hatte zuerst Hilbert in seiner Abhandlung “Über das Dirichletsche Prinzip” (Deutsche Math. Ver. 8, 184-188; ”F. d. M. 31, 418, 1900, siehe JFM 31.0418.01 u. JFM 31.0418.02”) ein auf allgemeinen Prinzipien beruhendes Verfahren vorgeschlagen, wobei er sich auf die Existenz einer allerkürzesten geodätischen Linie zwischen zwei Punkten eines regulären Flächenstückes beschränkte. Bolza dehnte dann in seinen “Lectures on the Calculus of Variations” (Chicago 1904) das Hilbertsche Verfahren auf allgemeinere Probleme aus und erkannte, daß das Gelingen der Hilbertschen Methode von zwei Umständen abhängt. Erstens muß nämlich das gegebene Kurvenintegral die Eigenschaft haben, daß der Integrand in jedem Kurvenelemente des Gebietes \(T\) ein und dasselbe Verzeichen besitzt, in welchem Falle der Verf. das Variationsproblem als “definit” bezeichnet. Zweitens aber muß sich die Umgebung jedes Punktes von \(T\) mit einem Felde von “starken” Extremalen – d. h. Extremalen, die ein starkes Extremum (nach Kneser) liefern –, die durch diesen Punkt gehen, eindeutig und lückenlos ausfüllen lassen.
In dem ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit zeigt nun der Verf., daß die zuletzt genannte Bedingung, die Bolza an die Spitze stellt, im wesentlichen eine Folge der ersten ist, wenn man auch solche Lösungen zuläßt, die mit Unstetigkeiten in der Fortschreitungsrichtung ihrer Tangente behaftet sind. Nach Hinzunahme dieser sogenannten “diskontinuierlichen Lösungen”, die der Verf. in seiner Dissertation (F. d. M. 35, 370, 1904, JFM 35.0370.03), an welche diese Arbeit eng anschließt, eingehend untersucht hat, läßt sich die Umgebung eines jeden Punktes \(P\), wo das Variationsproblem definit ist, auf eindeutige Weise mit einem Büschel von starken Extremalen durch \(P\) einfach und lückenlos überdecken. Ausnahmen hiervon machen nur gewisse, im allgemeinen längs Kurven verteilte Punkte.
Ferner wird gezeigt, daß die Existenz einer einzigen starken Extremale durch den Punkt \(P\) genügt, um das Problem durch ein gleichwertiges zu ersetzen, das in der Umgebung dieses Punktes “definit” ist; es kann also die Theorie der starken Extremalen durch die Heranziehung diskontinuierlicher Lösungen vollkommen erledigt werden. Die Punkte der Ebene, die bei dem vorgelegten Variationsproblem sich mit einem Büschel von starken Extremalen umgeben lassen, nennt der Verf. “reguläre”, während er die von Bolza als reguläre bezeichneten Punkte, die sich mit einem Büschel von starken “kontinuierlichen” Extremalen umgeben lassen, als “reguläre im engeren Sinne” bezeichnet.
Dann überträgt der Verf. den für die Variationsrechnung hervorragend wichtigen Satz, den Osgood (Amer. M. S. Trans. 2, 1901) für ein Gebiet, das lauter reguläre Punkte im engeren Sinne enthält, aufgestellt hat, auf in seinem Sinne reguläre Probleme. Zu diesem Zwecke dehnt er zunächst gewisse Untersuchungen und Resultate von Bliss (F. d. M. 35, 340, 1904, JFM 35.0340.01) auf gebrochene Extremalen aus. (Vgl. auch die Abhandlung von Hahn oben S. 392.) Mit Hülfe der Ergebnisse dieses ersten Kapitels gelingt es dann dem Verf. in dem zweiten Kapitel ohne Schwierigkeiten, die Hilbertsche Methode ganz allgemein auf positiv definite Probleme anzuwenden. Wie schließlich noch an dem Beispiele des gewöhnlichen isoperimetrischen Problems in der Ebene: \(J=\int_{t_1}^{t_2}(yx'+\sqrt {x^{'2}+y^{'2}})\,dt\) gezeigt wird, reicht die Eigenschaft eines Problems, in jedem Punkte eines Gebietes regulär zu sein, nicht hin, um auf die Existenz von allerkürzesten Wegen zwischen zwei Punkten dieses Gebietes schließen zu können. Die Voraussetzung, daß das Problem definit sei, ist daher wesentlich.

MSC:
49K05 Optimality conditions for free problems in one independent variable
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References:
[1] Die Paragraphen 2, 4, 6 und 7 sind im wesentlichen meiner Dissertation ?Über die diskontinuierlichen Lösungen der Variationsrechnung? (Göttingen 1904) entnommen.
[2] A. Kneser, Lehrbuch der Variationsrechnung. Braunschweig 1900, pag. 54. · JFM 31.0016.02
[3] Jahresber. d. Deutsch. Mathematikerverein., Bd. VIII (1899), p. 184, abgedruckt in Crelles Journ., Bd. 130 (1905).
[4] Eine neue Methode in der Variationsrechnung. Diss. Göttingen 1901.
[5] O. Bolza, Lectures on the Calculus of Variations (Chicago 1904), chap. VII. · JFM 19.0488.02
[6] a. a. O.O. Bolza, Lectures on the Calculus of Variations (Chicago 1904), chap. VII. , pag. 29 und pag. 125.
[7] Transactions of the American Mathematical Society, vol. II (1901), p. 273. · JFM 32.0039.12
[8] Transactions of the American Mathematical Society, vol. V (1904), p. 113. · JFM 35.0048.09
[9] Diese Differentialgleichung wurde gewöhnlich die Lagrangesche genannt; wie aber Bolza O. Bolza, Lectures on the Calculus of Variations (Chicago 1904), chap. VII. a. a. O. pag. 22 bemerkt, hat sie Lagrange selbst Euler zugeschrieben.
[10] O. Bolza, O. Bolza, Lectures on the Calculus of Variations (Chicago 1904), chap. VII. a. a. O., pag. 142; cf. meine Dissert., pag. 10. · JFM 19.0488.03
[11] Kneser, Lehrbuch, pag. 32. Bolza a. a. o., pag. 155. O. Bolza, Lectures on the Calculus of Variations (Chicago 1904), chap. VII.
[12] cf. Kneser, Lehrbuch, pag. 172; Bolza, a. a. O., pag. 36 und 125 O. Bolza, Lectures on the Calculus of Variations (Chicago 1904), chap. VII.
[13] Lehrbuch, pag. 78. · Zbl 0327.44002
[14] cf. z. B. H. A. Schwarz, Zur Lehre der unentwickelten Funktionen. Sitzungsber. d. Berl. Akad. XLV, pag. 948 (1897).
[15] Kneser, Lehrbuch, § 29, pag. 108.
[16] cf. Kneser, Lehrbuch, pag. 40.
[17] Tome III, p. 94.
[18] Beweis, daß jede Menge wohlgeordnet werden kann. Math. Ann., Bd. 59, pag. 514.
[19] Sufficient Conditions for a Minimum with respect to One-sided Variations (Trans. Amer. Math. Soc., vol. V, No. 4, pp. 477-492). · JFM 35.0370.02
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