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Théorie des fonctions algébriques de deux variables indépendantes. Tome II. (French) JFM 37.0404.02
Paris: Gauthier-Villars. 524 u. VI. S (1906).
Da der Referent bei seinem Berichte über den ersten Band des Werkes (F. d. M. 28, 327-331, 1897, JFM 28.0327.01) die allgemeinen Gesichtspunkte, die für die Theorie der algebraischen Funktionen von zwei Veränderlichen in Frage kommen, ausführlich erörtert hat, darf er sich jetzt kürzer fassen. Zunächst möchte er hervorheben, wie anregend der erste Band auf die Forschung in diesem lange vernachlässigten Gebiete gewirkt hat; es kommt dies recht deutlich darin zum Ausdruck, daß jener Band nur 244 Seiten zählte, während der zweite Band auf 524 angewachsen ist. Aber die neu erschlossene Mine ist noch keineswegs erschöpft, vielmehr sind gerade in den letzten Jahren neue schöne Ergebnisse erzielt und weitere Fortschritte angebahnt worden; vgl. die Berichte F. d. M. 36, 488-491, 1905, JFM 36.0488.08 und Seite 440 dieses Bandes.
Das erste Heft war bereits im Jahre 1900 erschienen; es brachte die ersten sieben Kapitel. Während das Kapitel VII für sich steht, lassen sich die Kapitel I bis VI so charakterisieren, daß darin die Sätze von Brill und Noether über die Kurven, die durch den Schnitt von zwei algebraischen Kurven gehen, und über lineare Reihen von Punktgruppen auf einer solchen Kurve sinngemäß auf algebraische Flächen übertragen werden. Mit dem Kapitel VII beginnt die Betrachtung von Integralen, die zu einer algebraischen Fläche gehören, und von diesem Gegenstande handelt auch das ganze zweite Heft, Kapitel VIII bis XI; es ist Anfang 1904 herausgekommen. Die Integrale totaler Differentiale \[ P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz, \] oder, wie der Referent vorgeschlagen hat, die Picardschen Integrale bilden den Gegenstand des Kapitels IX, und zwar werden hier Sätze über Integrale dritter Gattung entwickelt, nachdem im ersten Bande im wesentlichen nur Integrale erster und zweiter Gattung untersucht worden waren; vgl. F. d. M. 32, 419-421, 1901, JFM 32.0419.01. Jedoch kommt Picard in dem dritten, 1906 veröffentlichten Hefte, das die Kapitel XII bis XIV nebst Noten enthält, in dem Kapitel XIII auf die Integrale erster und zweiter Gattung zurück und vervollstämdigt die Sätze über die Anzahl der linear unabhängigen Integrale, die er früher gegeben hatte; bekanntlich ist gerade hier erst nach dem Erscheinen des zweiten Heftes ein entscheidender Fortschritt erzielt worden, siehe F. d. M. 36, 488, 1905, JFM 36.0488.08. Während in dem Kapitel VI des ersten Bandes die Doppelintegrale erster Gattung \[ \int R(x,y,z) \frac {dx\,dy}{\frac {\partial f}{\partial z}} \] behandelt worden waren, enthalten die Kapitel VII, VIII, X, XI, XII eine Darstellung der Theorie der Doppelintegrale zweiter Gattung, eines Gegenstandes, dem Picard seit dem Erscheinen des ersten Bandes zahlreiche Abhandlungen gewidmet hatte, vgl. F. d. M. 28, 368, 1897, JFM 28.0368.03; 29, 529, 1898, JFM 29.0529.02, JFM 29.0529.02, JFM 29.0529.03; 30, 379, 1899, JFM 30.0379.01 ,JFM 30.0379.02; 32, 418, 1901, JFM 32.0418.04; 33, 434-435, 1902, JFM 33.0434.02 ,JFM 33.0435.03; 34, 459-460, 1903, JFM 34.0459.03; 35, 422, 1904, JFM 35.0422.01; 36, 486-487, 1905, JFM 36.0486.02. Picard ist dabei bis zu der expliziten Bestimmung der Anzahl \(\varrho_0\) der linear unabhängigen Integrale vorgedrungen und hat, unter der Annahme, daß die Fläche nur ordinäre Singularitäten besitzt, die Formel bewiesen: \[ \varrho_0=N-4p-(m-1)+2r-(\varrho -1); \] herin bedeutet \(N\) die Klasse der Fläche, \(p\) das Geschlecht des Schnittes mit einer Ebene allgemeiner Lage, \(m\) die Ordnung, \(r\) die Anzahl der Picardschen Integrale zweiter Gattung, und endlich ist \(\varrho\) eine der Fläche eigentümliche Invariante, die mit den Picardschen Integralen dritter Gattung zusammenhängt; über diesen Zusammenhang wird in dem Kapitel X ausführlich berichtet.
Welchen Nutzen man aus den allgemeinen Sätzen ziehen kann, die in dem Werke gegeben worden waren, zeigt das Kapitel XIV, das sich auf die hyperelliptischen Flächen bezieht, d. h. auf die algebraischen Flächen, deren kartesische Koordinaten sich als vierfach periodische Funktionen von zwei Parametern darstellen lassen.
Den Schluß des Bandes bilden einige Noten, in denen Picard über gewisse Untersuchungen berichtet, die er nicht zu Ende geführt hat, deren Verfolgung aber wünschenswert erscheint. Indem die Verf. so einen Ausblick in die Zukunft geben, erwecken sie die Hoffnung, daß sie nach einigen Jahren einen dritten Band folgen lassen werden, der gewiß von den Mathematikern ebenso freudig begrüßt werden wird wie die beiden ersten Bände.