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Sul principio di Dirichlet (Da una lettera al Prof. Guido Fubini). (Italian) JFM 37.0414.06

Hilberts Lösung des Dirichletschen Problems setzt ein von einer endlichen Anzahl von analytischen Kurvenstücken begrenztes Gebiet und analytische Randwerte längs dieser Begrenzung voraus. In der ersten der drei genannten Arbeiten behandelt B. Levi in Anlehnung an Hilberts Methode das Dirichletsche Problem unter folgenden, im wesentlichen viel allgemeineren Voraussetzungen: das Gebiet ist von einer lediglich stetigen konvexen Randkurve begrenzt, und die Randwerte sind längs dieser einmal differenzierbar. Diese Voraussetzungen stehen also hinter den Hilbertschen nur in dem einen Punkte zurück, daß das Gebiet konvex sein muß, diesen Punkt behält sich der Verf. vor, in einer weiteren Note zu ergänzen. Beim Beweise benutzt er übrigens den Lebesgueschen Integralbegriff, indem er das Doppelintegral \[ J(u)=\iint\left[\left( \frac {\partial u}{\partial x}\right)^2+\left( \frac {\partial u}{\partial y}\right)^2\right] dx\,dy \] auch für solche Funktionen \(u\) betrachtet, deren Ableitung nur erst im Lebesgueschen Sinne integrabel ist.
Die auch von Levi angewandte Schlußweise von Hilbert besteht aus zwei Schritten: sie konstruiert zuerst eine Folge von Funktionen \(v_1,v_2,\dots\), die sämtlich im betrachteten Intervall differenzierbar sind, die vorgegebenen Randwerte annehmen und folgenden beiden Forderungen genügen: 1) sie konvergieren gleichmäßig im ganzen Gebiet einschließlich des Randes gegen eine mithin stetige Funktion \(v\); 2) \(J_n=J(v_n)\) hat bei wachsendem \(n\) einen limes \(J\), und dieser ist gleich dem limes inferior der Werte, deren das Integral \(J(u)\) für irgend welche einmal stetig differenzierbaren und die Randbedingungen erfüllenden Funktionen \(u\) fähig ist. Daß das Doppelintegral auch für die Grenzfunktion \(v\) existiert, und daß sein Wert \(J(v)=\lim J(v_n)=J\) ist, mit anderen Worten, daß im \(\lim J(v_n)\) Integral- und Limeszeichen vertauscht werden dürfen, ist der zweite Schritt. Daß \(v\) Potential ist, \(\varDelta (v)=0\), folgt dann durch die wohlbekannte Schlußweise von Thomson oder Riemann.
Fubini macht nun Levi in einem Brief darauf aufmerksam, daß man den zweiten Schritt dieses Beweisganges bei ihm wesentlich abkürzen kann, indem er durch einen Kunstgriff direkt zeigt, daß die Grenzfunktion \(v\) der Potentialgleichung genügt.
Levi zeigt in seiner Antwort, daß die Fubinische Vereinfachung es ihm ermöglich, aus dem so umgestalteten Beweise nun auch den Lebesgueschen Integralbegriff herauszuschaffen und nur mit Integralen im Riemannschen Sinne zu arbeiten. Er erweitert außerdem seine Betrachtungen auf allgemeine Differentialgleichungen der Form: \[ A(x,y)\frac {\partial^2u}{\partial x^2}+B(x,y)\frac {\partial^2u}{\partial y^2} +\frac {\partial A}{\partial x}\frac {\partial u}{\partial x}+\frac {\partial B}{\partial y}\frac {\partial u}{\partial y}=0, \] wo \(A,B\) im ganzen Bereich positiv sind.
Reviewer: T.

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References:

[1] Cfr.Fubini,Sul principio di Dirichlet [questi Rendiconti, t. XXII (1906), pp. 383–386].
[2] della Memoria:Sul principio di Dirichlet [questi Rendiconti, t. XXII (1906), pp. 293–360].
[3] Vol. XV, 2{\(\deg\)} sem. 1906, pp. 410–415. V. particolarmente il n{\(\deg\)} 5, pp. 414–415.
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