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On the limits of real variants. (English) JFM 38.0428.01

Unter reellen Varianten versteht Mercer Funktionen einer veränderlichen positiven ganzen Zahl \(n\). Über die Grenzwerte solcher Varianten für unendlich große Werte von \(n\) existieren zwei bekannte Sätze von Cauchy; der erste besagt: wenn \(X_{n}\) eine Variante von der Beschaffenheit ist, daß\(X_{n+1}-X_{n}\) sich einer bestimmten Grenze \(\lambda\) nähert, wenn \(n\) über alle Grenzen wächst, so nähert sich \(\frac{1}{n}X_{n}\) derselben Grenze; und der zweite Satz sagt aus: Ist \(X_{n}\) eine positive Variante und nähert sich \(X_{n+1}/X_{n}\) mit wachsendem \(n\) einer bestimmten Grenze \(\lambda\), dann nähert sich \(X_{n}\) derselben Grenze. Da sich diese beiden Sätze keineswegs allgemein umkehren lassen, so beschäftigt sich Mercer zunächst mit der Frage, ob sich Varianten von ähnlicher Art wie \(X_{n+1}-X_{n}\) oder \(X_{n+1}/X_{n}\) finden lassen derart, daßdie Existenz ihres Grenzwertes für unendlich großen Index der beiden Grenzwerte \(\underset{n=\infty}{\text{Lt}}X_{n+1}/X_{n}\) und \(\underset{n=\infty}{\text{Lt}}X_{n}^{\frac{1}{n}}\) zur Folge hat. Die Beantwortung dieser Frage erfolgt im Abschnitt I. Von den Ergebnissen dieses Abschnittes mögen die beiden folgenden Sätze hier angegeben werden:
Theorem I. Wenn \(X_{n+1}-X_{n}+\mu n^{-1}X_{n}\) sich mit wachsendem \(n\) einem bestimmten Grenzwert \(\lambda\) nähert, dann nähert sich, falls \(\lambda\) endlich ist, \(X_{n+1}-X_{n}\) und \(n^{-1}X_{n}\) gleichzeitig dem Grenzwert \(\lambda/(\mu+1)\), vorausgesetzt, daß\(\mu+1>0\) ist; ist \(\lambda=\pm\infty\), so nähert sich \(n^{-1}X_{n}\) dem Grenzwert \(\lambda\), wenn \(\mu+1>0\) ist, während \(X_{n+1}-X_{n}\) sich nur dann \(\lambda\) nähert, wenn \(0\geqq\mu>-1\) ist.
Theorem III. Ist \(X_{n}\) eine für hinreichend große Werte von \(n\) positive Variante, und hat \(X_{n+1}/X_{n}^{\left (1-\frac{\mu}{n}\right )}\) einem bestimmten Grenzwert \(\lambda\), dann nähern sich \(X_{n+1}/X_{n}\) und \(X_{n}^{\frac{1}{n}}\) dem Grenzwert \(\lambda^{1/(\mu+1)}\), wenn \(\lambda\neq 0\) und endlich und \(\mu+1>0\) ist. Ist aber \(\lambda=0\) oder \(\lambda=\infty\), so nähern sich beide Ausdrücke dem Grenzwert \(\lambda\), vorausgesetzt, daß\(0\geqq\mu>-1\) ist.
Im Abschnitt II werden diese Sätze auf Varianten mit mehreren Indizes übertragen; der Übersichtlichkeit wegen beschränkt sich Mercer dabei auf Varianten mit zwei Indizes. Es ergeben sich ganz analoge Sätze wie in Abschnitt I. Eine Anwendung dieser Sätze enthält dann der letzte Abschnitt (III), in dem Mercer den bekannten Satz von Pincherle über den Konvergenzradius einer Potenzreihe (s. z. B. Vivanti-Gutzmer, Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen, 64) in bemerkenswerter Weise erweitert; er beweist nämlich den Satz:
Sind \(L\) und \(l\) das größte und kleinste Element der aus den Varianten \[ \frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}^{(1-r)}}, \quad \frac{\alpha_{3}}{\alpha_{2}^{(1-\frac{1}{2}r)}},\dots, \quad \frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_{n}^{(1-r/n)}},\dots(r+1>0) \] gebildeten Menge, dann befriedigt der Konvergenzradius \(\varrho\) der Reihe \[ P(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots+a_{n}z^{n}+\cdots, \quad | a_{n}|=\alpha_{n}, \] die Ungleichungen: \[ \begin{aligned} & \varrho\geqq L^{-1/(r+1)}, \text{wenn } L \text{ endlich ist},\\ & \varrho\leqq l^{-1/r+1}, \quad \quad \text{''} \quad l\neq 0 \quad \quad \text{''}.\end{aligned} \] Für \(r=0\) ergibt sich hieraus der ursprüngliche Pincherlesche Satz.

MSC:

40-XX Sequences, series, summability
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