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An introduction to the theory of multiply-periodic functions. (English) JFM 38.0478.05
Cambridge: University Press. XVI u. 336 S. (1907).
Das Buch ist uns nicht zugegangen; wir referieren über seinen Inhalt nach der Rezension in Nature 1908, Suppl. March 5, p. V.
Das erste Kapitel enthält eine Übersicht über die hyperelliptischen Integrale und gibt insbesondere ihre Normalformen in ihren expliziten algebraischen Gestalten. Die entsprechenden Thetafunktionen werden definiert und ihre Eigenschaften aufgesucht. Die Lösung des Jacobischen Umkehrungsproblems wird gegeben; der Artikel 10 enthält eine Erörterung des Verschwindens einer doppelten Thetafunktion.
Das zweite Kapitel enthält die Differentialgleichungen für die Sigmafunktionen, die nachher zur Auffindung ihrer Entwicklung gebraucht werden. Mittels der Arnholdschen symbolischen Bezeichnung werden sie in einer gedrängten invarianten Form ausgedrückt. Der Weg, auf dem dies geschieht, ist elementar. In einer Note am Schlusse weist der Verf. darauf hin, es sei wünschenswert, den Beweis so umzuwandeln, daß er der für die elliptischen Sigmafunktionen benutzten Methode ähnlicher werde.
Das dritte Kapitel beschäftigt sich mit den Eigenschaften der Kommerschen und der Weddleschen Fläche im Zusammenhange mit den Eigenschaften der hyperelliptischen Funktionen. Das vierte Kapitel behandelt die Entwicklungen der Sigmafunktionen und gibt zahlreiche Glieder explizit. Auf den invarianten Charakter der Koeffizienten ist besonders zu achten. Das fünfte Kapitel kehrt zum Gegenstande des dritten zurück. Es bringt unter anderem den Batemanschen Beweis für die Differentialgleichungen der Asymptotenlinien auf der Weddleschen Fläche und eine geometrische Deutung für das Additionstheorem.
Der zweite Til des Buches handelt von der Zurückführung der Theorie der vielfach periodischen Funktionen auf die Theorie der algebraischen Funktionen. Einer seiner Hauptgegenstände ist der Beweis des Theorems, daß die allgemeinste einwertige vielfachperiodische meromorphe Funktion durch Thetafunktionen ausdrückbar ist. Der Beweis beruht zum Teil auf der Kroneckerschen Theorie der Definition algebraischer Gebilde mit Hülfe von Systemen von Gleichungen, zum Teil auf der Betrachtung “defektiver” Integrale. Gedanken über den Einfluß der Weierstraßschen und der Riemannschen Richtung, über die algebraischen Methoden von Dedekind und Weber werden vom Rezensenten im Vergleich mit dem Gange des Verf. zum Ausdruck gebracht; ein besonderes Lob wird dem Verf. dafür gespendet, daß er S. 255-272 mehrere besondere Beispiele zur Erläuterung der allgemeinen Theorie und ihrer Schwierigkeiten beigegeben hat.

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