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Prinzipien der Geometrie. (German) JFM 38.0496.01
4Enzyklop. d. math. Wissensch. \(\text{III}_{1}\), 1-129 (1907).
Der Artikel (III A, B 1), der in seiner klaren und doch tiefgehenden Darstellung ein Meisterstück des verdienstvollen italienischen Gelehrten ist, unterscheidet die elementare Richtung von den höheren Ansätzen, die eitweder von der Theorie des Kontinuums oder der projektiven Geometrie oder der allgemeinen Idee einer Maßbestimmung (Bogenelement und Entfernung, Bewegungsgruppe) ausgehen. Die elementare Richtung ist durch den unmittelbaren Vergleich der sämtlichen uns geläufigen geometrischen Begriffe charakterisiert: die andern höheren Richtungen (abgesehen von der Anwendung höherer Untersuchungsmittel und besonders der Analysis) entsprechen dagegen einer Trennung der fundamentalen Begriffe in einige Familien, von denen jede einer breit entwickelten Geometrie zur Grundlage dient, der die andern Begriffe untergeordnet werden. Nach der Darstellung dieser verschiedenen Richtungen berichtet der letzte Abschnitt übr die neuen Entwicklungen, die durch Abstraktion von dem gewöhnlichen Begriffe des Kontinuums zur Konstruktion der nichtarchimedischen Geometrie geführt haben.
Inhaltsübersicht 1. Einleitung. Allgemeines, betreffend die mathematischen Untersuchungen über die Prinzipien der Geometrie.
I. Die elementare Richtung. 2. Vorbemerkung. 3. Punkt, Gerade, Ebene. 4. Strecke, Winkel (der Begriff “zwischen”). 5. Kongruenz und Bewegung. 6. Über die Redunktion der in den vorigen Nummern betrachteten fundamentalen Begriffe. 7. Stetigkeit und Archimedisches Postulat. 8. Das Parallelenpostulat. 9. Weitere Ausführungen zur Parallelentheorie. 10. Flächeninhalt und Rauminhalt. 11. Neue Entwicklungen zur Proportionentheorie im Sinne der Alten. 12. Schluß der vorstehenden Untersuchung und Disposition der folgenden Kapitel.
II. Prinzipien der Theorie des Kontinuums. 13. Vorbemerkung. 14. Die Linie. 15. Flächen und Mannigfaltigkeiten mehrerer Dimensionen. 16. Linien auf den Flächen.
III. Prinzipien der projektiven Geometrie. 17. Postulate in einem Raumstück. 18. Postulate für den vollständigen projektiven Raum. 19. Projektive Koordinaten. 20. Bemerkungen über die grundlegenden Sätze der projektiven Geometrie. 21. Über die Bedeutung der Begriffe der Anordnung in der Begründung der projektiven Geometrie.
IV. Projektive Metrik. 22. Einordnung der gewöhnlichen Metrik in die projektive Geometrie. 23. Allgemeine Maßbestimmung von Cayley und deren nichteuklidische Auslegung von Klein. 24. Verschiedene Bemerkungen zu den projektiven Metriken.
V. Prinzipien der allgemeinen Metrik. 25. Vorbemerkung. A. Bogenelement (nebst endlicher Entfernung). 26. Geometrie auf krummen Flächen usw. 27. Riemannsche Maßbestimmung in einer mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit. 28. Homogene Mannigfaltigkeiten. 29. Projektiver Charakter der Mannigfaltigkeiten konstanter Krümmung. 30. Untersuchungen von De Tilly über den Ausdruck für die endliche Entfernung. 31. Geometrische Systeme von Minkowski-Hilbert. B. Bewegungsgruppe. 32. Postulate von H. v. Helmholtz. 33. Untersuchungen von S. Lie. 34. Untersuchungen von H. Poincaré. 35. Untersuchungen von D. Hilbert.
VI. Zusammenhangsverhältnisse des unbegrenzten Raumes. 36. Räume, die als Ganzes bewegt werden können. 37. Zweidimensionale Gebilde von Clifford-Klein. 38. Dreidimensionale Gebilde von Clifford-Klein.
VII. Nichtarchimedische Geometrie. 39. Einleitung. 40. Eindimensionales Kontinuum höherer Art. 41. Ideen Veroneses. 42. Nichtarchimedische projektive Geometrie. 43. Euklidische und nichtarchimedische Geometrie. 44. Nichtarchimedische Entwicklungen über die Parallelentheorie.

Subjects:
Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Kapitel 1. Prinzipien der Geometrie.