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Über die Konvergenz von Reihen, die nach periodischen Funktionen fortschreiten. (German) JFM 39.0320.04

Es liege eine unendliche Folge \(F_1(x), F_2(x), F_3(x),\dots\) stetiger Funktionen von der Periode \(2\pi\) vor. Ist \(N\) irgend ein Index, so finden sich für jeden Wert von (x) unter den Zahlen \(| F_1(x)|, | F_2(x)|,| F_3(x)|,\dots\), eine oder mehrere größte; der Zeiger der ersten unter diesen größten werde mit \((N,x)\) bezeichnet, so daß für alle \(N\) und alle \(x| F_n(x)| \leqq | F_{(N,x)}(x)|\), falls \(n\leqq N\), ist; die Funktionen \(F_{(N,x)}(x)\) von \(x\) sind stetig und haben die Periode \(2\pi\); ist \(\delta\) irgend ein reeller positiver Exponent, so existieren die Integrale \(J_N^{(\delta)}=\int_0^{2\pi}|F_{(N,x)}(x)|^\delta dx\) für \(N=1,2,3,\dots;\) dann gilt:
Ist für ein festes \(\delta\) die Zahlenfolge \(J_1^{(\delta)}, J_2^{(\delta)}, J_3^{(\delta)},\dots\) beschränkt, so ist die Menge \({\mathfrak M}_0\), die dadurch erklärt ist, daß ihr ein Wert \(x_0\) des Intervalls \((0,2\pi)\) dann und nur dann zugerechnet wird, falls die Wertefolge \(F_1(x_0), F_2(x_0), F_3(x_0),\dots\) nicht beschränkt ist, vom Maße 0.
Wird jetzt unter \(\delta\) ein positiver Exponent \(\leqq 1\) verstanden, unter \( a_1,a_2,a_3,\dots\) irgend welche reellen Zahlen, für welche die Summe \(\sum_{k=1}^\infty | a_k|^\delta\) konvergiert, so gilt:
Ist die Folge \(J_1^{(\delta)}, J_2^{(\delta)}, J_3^{(\delta)},\dots\) für einen positiven Exponenten \(\delta\leqq 1\) beschränkt, so machen diejenigen Stellen \(x\), für welche die abzählbar-unendlich vielen Werte \(G_{m,n}(x)=\sum_{k=1}^m a_kF_n(kx)\) \((m,n=1,2,3,\dots)\) nicht zwischen endlichen Grenzen bleiben, nur eine Menge vom Maße 0 aus.
Eine Reihe \(c_1\cos x+c_2\cos 2x+c_3\cos 3x+\cdots\) konvergiert für alle Werte \(x\) mit Ausnahme solcher, die einer gewissen Menge \(\mathfrak M\) vom Maße 0 angehören, falls sich ein positive Zahl \(C\) und ein Exponent \(\gamma>\frac{2}{3}\) angeben lassen, so daß \(| c_n| \leqq\frac{C}{c_n}\) für alle \(n\) ist.
Ist \(\varphi(x)\) eine stetige Funktion von der Periode \(2\pi\), welche in eine Fouriersche Reihe ohne konstantes Glied \(\varphi(x)=a_1\cos x+a_2\cos 2x+\cdots+b_1\sin x+b_2\sin 2x+\cdots\) entwickelt werden kann, deren Koeffizienten von solcher Art sind, daß \(\sum_{k=1}^\infty | a_k|^\delta\;\sum_{k=1}^\infty | b_k|^\delta\) für einen Exponenten \(\delta>0\) und \(\leqq 1\) konvergieren, so konvergiert eine Reihe \(c_1\varphi(1\cdot x)+c_2\varphi(2\cdot x)+c_3\varphi(3\cdot x)+\cdots\) für alle Werte \(x\) mit Ausnahme solcher, die einer gewissen Menge \(\mathfrak M\) vom Maße 0 angehören, falls es eine Zahl \(\gamma>\frac{2+\delta}{3+\delta}\) gibt, so daß \(c_n\cdot n^\gamma\) für alle \(n\) absolut unter einer endlichen Grenze liegt.

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References:

[1] Zur Definition des Begriffes ?Maß? (mesure) vgl. Lebesgue, Leçons sur l’intégration (Paris 1904), pag. 102 ff., Leçons sur les séries trigonométriques (Paris 1906), pag. 8.
[2] Die gleiche Fragestellung findet sich bereits bei Fatou, Séries trigonométriques et séries de Taylor, Acta Math. Bd. 30 (1906), pag. 337. Doch ist das dort ausgesprochene Ergebnis?Fatou gibt als hinreichende Bedingung \(\mathop L\limits_{n = \infty } nc_n = \mathop L\limits_{n = \infty } n\bar c_n = 0\) an ? weit weniger vollständig als das in § 2 der vorliegenden Note bewiesene.
[3] Leç. sur l’intégration pag. 98 ff. ? Leç. s. l. sér, trigonom. pag. 10 f.
[4] Riesz, Gött. Nachr. (Math.-phys. Klasse) 1907, pag. 116. ? Fischer, Comptes Rendus, Bd. 144, p. 1022 (13. Mai 1907).
[5] Vgl. Lebesgue, Leç, s. l. sér. trigonom., pag. 38 f.
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