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Singular points ot ordinary linear differential equations. (English) JFM 40.0352.02

Es sei \[ (1)\quad \frac{dy_i}{dx}=\sum_{j=1}^n a_{ij}(x)y_j\;(i=1,2,\dots,n) \] ein System von \(n\) totalen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung, in welchem für \(| x| >R\) \[ (2)\quad a_{ij}(x)=a_{ij}x^q+a_{ij}^{(1)}x^{q-1}+\cdots+a_{ij}^{(q)}+a_{ij}^{(q+1)}\frac{1}{x}+\cdots(i,j=1,2,\dots,n) \] und \(q\) eine ganze Zahl ist. Verf. untersucht in der vorliegenden Arbeit die Natur der Lösungen von (1) in der Umgebung des Punktes \(x=\infty\), welcher als singulärer Punkt des Systems (1) angenommen wird, so daß \(q+1\) ist; die Zahl \(q+1\) wird nach Poincaré (Acta Math. 8, 305, 1886) der Rang des Systems (1) bei \(x=\infty\) genannt. Die \(n\) Wurzeln \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)\) der charakteristischen Gleichung \[ | a_{ij}-\delta_{ij}\alpha| =0 (\delta_{ij}=0 (i\neq j), \delta_{ii}=1) \] werden voneinander verschieden angenommen und sollen sich im Falle \(q=-1\) nicht um ganze Zahlen unterscheiden (der allgemeine Fall soll später behandelt werden). Durch eine geeignete lineare Transformation \[ \overline{y_i}=\sum_{j=1}^n \lambda_{ij}(x)y_j, \] worin die Funktionen \(\lambda_{ij}(x)\) in \(x=\infty\) analytisch sind oder daselbst einen Pol besitzen, wird das System (1) in ein System \((\overline{1})\) mit Koeffizienten \(\overline{a}_{ij}(x)\) von derselben Form (2) transformiert, nur daß \(\overline{q}\) nicht notwendig gleich \(q\) ist; ein solches System \((\overline{1})\) wird dem System (1) bei \(x=\infty\) äquivalent genannt.
Im ersten Teile der Arbeit wird die Bestimmung des einfachsten Differentialgleichungssystems durchgeführt, welches mit (1) bei \(x=\infty\) äquivalent ist. Zu diesem Zwecke wird in § 1 ein wichtiges Lemma über analytische Funktionen aufgestellt und bewiesen. Die Anwendung dieses Lemmas in § 2 zeigt, daß immer ein dem System (1) bei \(x=\infty\) äquivalentes kanonisches System von der Form \[ x\frac{dy_i}{dx}=\sum_{j=1}^n P_{ij}(x)y_j\;(i=1,2,\dots,n) \] existiert, in welchem die \(P_{ij}(x)\) Polynome sind. In § 3 wird gezeigt, daß der Rang dieses kanonischen Systems bei \(x=\infty\) gleich \(q\) angenommen werden kann, so daß der Grad der Polynome \(P_{ij}(x)\) nicht größer als \(q+1\) ist.
Die Bedeutung dieser Resultate wird durch Betrachtung des Falles eines regulären singulären Punktes \((q=-1)\) erläutert. Das zu (1) äquivalente kanonische System lautet dann in der einfachsten Form (§ 3): \[ x\frac{dY_1}{dx}=\alpha_1Y_1,\;x\frac{dY_2}{dx}=\alpha_2 Y_2,\dots,x\frac{dY_n}{dx}=\alpha_nY_n; \] ein Fundamentalsystem von Lösungen desselben ist: \[ Y_i^{(j)}=\delta_{ij}x^{a_j}(i,j=1,2,\dots,n; \delta_{ij}=0(i\neq j),\delta_{ii}=1). \] Die Lösungen dieses Systems sind aber mit denen von (1) durch eine Relation \[ y_i=\sum_{j=1}^n \lambda_{jj}(x)Y_j\;(i=1,2,\dots,n) \] verbunden, worin die \(\lambda_{ij}(x)\) in \(x=\infty\) analytisch sind (der Fall eines Poles kann leicht ausgeschlossen werden). Daraus folgt, daß das System (1) ein Fundamentalsystem von Lösungen von der Form \[ y_i^{(j)}=\sum_{k=1}^n \lambda_{ik}(x)Y_k^{(j)}=\lambda_{ij}(x)x^{a_j}\;(i,j=1,2,\dots,n) \] besitzt. Das ist das Fundamentaltheorem für einen regulären singulären Punkt (Sauvage, Ann. de l’Éc. Norm. (3) 3, 392, 1886). Die Lösungen des zu (1) bei \(x=\infty\) äquivalenten kanonischen Systems spielen nun im Falle eines irregulären singulären Punktes \((q\geqq 0)\) dieselbe Rolle wie in dem soeben betrachteten Falle.
Im § 4 werden die Lösungen des Systems (1) im Anschluß an die Arbeiten von Poincaré (American J. 7, 203-258, 1885) und Horn (Math. Ann. 50, 525-556, 1897) für \(q\geqq 0\) durch verallgemeinerte Laplacesche Integrale dargestellt. Diese Integrale werden in § 5 angewendet, um die asymptotische Natur der Lösungen des zu (1) bei \(x=\infty\) äquivalenten kanonischen Systems in gewissen Sektoren der \(x\)-Ebene zu ermitteln; die asymptotische Form der Lösungen des Systems (1) in denselben Sektoren ist die unmittelbare Folge (Horn (J. für Math. 133, 19-67, 1907) benutzt zu demselben Zweck die Methode der sukzessiven Approximationen). – In § 6 wird eine Riemannsche Charakterisierung der Lösungen des kanonischen Systems in der Umgebung von \(x=\infty\) gegeben und auf die Lösungen des Systems (1) ausgedehnt; es ergibt sich, daß die Zahl der charakteristischen Konstanten in den Lösungen dieselbe ist wie die Zahl der willkürlichen Konstanten des kanonischen Systems. Diese, Charakterisierung macht die Verallgemeinerung des Riemannschen Problems auf den Fall wahrscheinlich, daß die singulären Punkte des Differentialgleichungssystems nicht regulär sind. Die Formulierung desselben, sowie eine Abzahlung der Konstanten wird in § 7 gegeben.

MSC:

34C05 Topological structure of integral curves, singular points, limit cycles of ordinary differential equations
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