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Basic number theory. Part 2: Additive number theory. (Niedere Zahlentheorie. Zweiter Teil: Additive Zahlentheorie.) (German) JFM 41.0221.10
Leipzig: B. G. Teubner. x, 408 S. (1910).
Dieses Buch, dessen Inhalt nach dem Vorgange Kroneckers durch das Schlagwort “additive Zahlentheorie” gekennzeichnet wird, füllt eine klaffende Lücke der mathematischen Literatur aus. Wird doch dieser Teil der Arithmetik, den die Alten schon mit Vorliebe durchforschten, und der zur Zeit Fermats bis Euler seine Blütezeit erlebte, heute nur noch von Wenigen gekannt, und noch weniger ist er als Lehrbuch verarbeitet worden. Demgemäß ist auch der innere Zusammenhang der einzelnen Probleme ein loser, wenn es auch dem Verf. gelungen ist, durch die Art der Problemstellungen und die benutzten Gedankenreihen ein Band für das ganze Lehrbuch zu schaffen.
Das erste Kapitel handelt von den Polygonalzahlen, den figurierten Zahlen, den Bernoullischen und den Eulerschen Zahlen, den Potenzsummen. Den arithmetischen Betrachtungen liegen die arithmetischen Reihen beliebiger Ordnung zugrunde, aus denen man sie zwanglos herleiten kann, den analytischen die Reihenentwicklung: \[ \frac{x}{2}\,\frac{e^{\frac {x}{2}+e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac x2}-e^{-\frac x2}}}=1+\frac{B_1}{2!}\,x^2-\frac{B_2}{4!}+\cdots . \] Das zweite Kapitel bringt eine Darstellung der rekurrenten Reihen. Besonders ausgeführt sind die Fareysche Zahlenreihe und die rekurrenten Reihen mit fester Skala, vor allem mit einer Skala zweiten Grades. Die mannigfaltigen arithmetischen Sätze dieser Reihen (nach E. Lucas entwickelt) führen zu der Methode, eine Zahl in ihre Primteiler zu zerlegen, und damit zu den vollkommenen Zahlen, deren Theorie vollständig durchgeführt wird.
Das dritte Kapitel behandelt die Darstellungen einer Zahl als Summe einer bestimmten oder unbestimmten Anzahl von gegebenen Zahlen. Die Funktion, deren Potenzreihenentwicklung die Anzahl solcher Darstellungen als Koeffizienten bringt, heißt die erzeugende Funktion. Der Verf. bespricht die wesentlichsten (auf Euler fußenden) erzeugenden Funktionen. Ebenso stammt von Euler die Methode, aus Beziehungen zwischen verschiedenen erzeugenden Funktionen auf Beziehungen der Anzahlen der verschiedenen Arten von Darstellungen zu schließen. Die neueren Arbeiten bauen sich auf den interessanten und wichtigen Resultaten auf, die Cayley und besonders Sylvester gefunden haben. Die Anzahl der Darstellungen einer Zahl \(s\) in der Form \[ s=ax_1+bx_2+\cdots+lx_n \] in positiven Zahlen \(x\) heißt der “Denumerant” von \(s\) und wird mit \(\frac{s}{\overline{a,b,\dots,l}}\) bezeichnet. Nennt man den Koeffizienten von \(x^s\) in der Reihenentwicklung von \(\frac{a_0+a_1x+\cdots +a_{d-1}x^{d-1}}{1-x^d}\) einen “Zirkulator” von \(s\), so gelingt es Cayley, den Denumeranten mit Hülfe bestimmter Zirkulatoren von \(s\) zu berechnen. Sylvester dagegen bezeichnet den Ausdruck: \[ W_d=K_{-1}\left[\sum_{\varrho_d}\,\frac{(\varrho_d)^se^{st}}{(1-(\varrho_de^t)^{-a})(1-(\varrho_d e^t)^{-b})\cdots (1-\varrho_de^t)^{-l}}\right] \] als eine Welle des Denumeranten. Dabei ist die Summe über alle primitiven Einheitswurzeln \(\varrho_d\) von \(x^d-1=0\) zu erstrecken und \(K_{-1} [\,]\) bedeutet den Koeffizienten von \(1/t\) der Reihenentwicklung von \([\,]\) nach \(t\). Dann ist \[ \frac{s}{\overline{a,b,\dots ,l}}=\sum W_d, \] wo die Summe über alle verschiedenen in \(a,b,\dots,l\) aufgehenden Zahlen \(d\) zu erstrecken ist. Der Verf. erläutert diese Theorie an verschiedenen Beispielen. Den Schluß des Kapitels bildet der Euler-Legendresche Satz über die Pentagonalzahlen und die sich anschließenden Untersuchungen von Vahlen und v. Sterneck.
Das vierte Kapitel bespricht die gleichzeitige Zerfällung mehrerer Zahlen. Es handelt sich um die gleichzeitige Auflösung eines Systems \[ \begin{matrix} &a=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots,\\ &b=\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots,\\ &c=\gamma_1x_1+\gamma_2x_2+\cdots\end{matrix} \] in ganzen nicht negativen Zahlen \(x_1,x_2,\dots\). Auch dieses Problem ist von Cayley und Sylvester analytisch und arithmetisch behandelt worden. Der Verf. wendet die Resultate auf verschiedene Spezialfälle an. Im wesentlichen besteht die Methode darin, das Problem auf die Bestimmung von Denumeranten zurückzuführen.
Im Gegensatz zu dieser absoluten Zerfällung einer Zahl behandelt Kap. 5 die Zerfällung in bezug auf einen Modul \(m\). Es werden die Arbeiten von Stern und die weiter reichenden von v. Sterneck besprochen. Speziell behandelt der Verf. die drei Aufgaben, die Anzahlen der Darstellungen einer Zahl \((\text{mod}.\,p=\text{Primzah}\neq 2)\) aus den Zahlen \(1,2,3,\dots ,p - 1\), den quadratischen Resten unter diesen Zahlen und den Zahlen \(1,2,3,\dots,\frac 12(p - 1)\) zu finden.
Dem Ausbau der auf Euler fußenden Theorie, aus analytischen Identitäten, speziell aus Umformungen von unendlichen Reihen in unendliche Produkte Rekursionsformeln für zahlentheoretische Funktionen zu finden, ist Kap. 6 gewidmet. Es werden die Resultate von Liouville, Vahlen, Halphen, Glaisher systematisch gegliedert dargestellt. Besonders die Arbeiten des letzteren werden weitgehend berücksichtigt.
Kap. 7 bringt die Zerfällungen in gleichnamige Potenzen. Der Verf. beginnt bei dem einfachsten Fall, der Zerfällung in Quadrate, Biquadrate, Kuben, und gelangt so zu Zerfällungen in höhere Potenzen. Die Mindestanzahl der Summanden wird nach Landau, Fleck, Maillet, Wieferich berechnet. Der Hilbertsche Beweis des allgemeinen Waringschen Problems konnte nicht in das Lehrbuch aufgenommen werden. (Siehe F. d. M. 40, 236, 1909, JFM 40.0236.03).
In dankenswerter Weise wird Kap. 8 den bedeutenden Arbeiten Liouvilles gewidmet, die neuerdings von Pepin und Meißner bearbeitet worden sind. Der Verf. leitet vier Grundformeln Liouvilles ab und zeigt die mannigfaltigen Anwendungen auf die Zerfällungsprobleme, sowie als Schluß auch die Kroneckerschen Klassenzahlrelationen.
Das letzte 9. Kap. gibt die elementare Theorie der Fermatschen Gleichung \(x^n+y^n=z^n\). Der Fall \(n=2\) gibt Anlaß zur Behandlung der pythagoreischen Dreiecke. Der Fall \(n=3\) wird nach Euler-Legendre, der Fall \(n=5\) nach Dirichlet behandelt und die Unmöglichkeit der Lösung in rationalen Zahlen gezeigt. Den Schluß des Werkes bilden die Abelschen Relationen.

MSC:
11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11Axx Elementary number theory
11B37 Recurrences
11P81 Elementary theory of partitions