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On a new method in the theory of integration. (English) JFM 41.0325.01
Der Verf. stellt sich in der vorliegenden Arbeit die Aufgabe, die monotonen Folgen von Funktionen für die Theorie der Integration nutzbar zu machen. Betreffs der zahlreichen Resultate, die zum Teil neu, zum Teil zwar bekannt, jedoch vom Verf. auf einem neuartigen Wege abgeleitet worden sind, muß auf das Original verwiesen werden. Die folgenden Ausführungen sollen lediglich eine erste Vorstellung über den Inhalt der Arbeit vermitteln.
Der Verf. macht ausgiebigen Gebrauch von den von Baire zuerst eingeführten halbstetigen Funktionen (fonctions semi-continues). Die Grenzfunktion einer aufsteigenden Folge nach oben halbstetiger Funktionen wird kurz eine \(lu\)-Funktion genannt. Demgegenüber bedeutet eine \(ul\)-Funktion die Grenzfunktion einer absteigenden Folge nach unten halbstetiger Funktionen. Die Summe und das Produkt zweier Funktionen (beim Produkt – zweier positiven Funktionen) des Typus \(ul\) (bzw. \(lu\)) ist eine Funktion des gleichen Typus. Der Grenzwert einer aufsteigenden (absteigenden) Folge von Funktionen des Typus \(lu\) (\(ul\)) ist eine Funktion des gleichen Typus. Ist \(f (x)\) stetig, oder halbstetig nach oben, oder eine Funktion des Typus \(lu\), und ist \(f (x, M)=f(x)\), falls \(f (x) < M,\;f (x, M) = M\), falls \(f (x) \geqq M\), so ist \(f (x, M)\) eine Funktion desselben Typus wie \(f (x)\). Eine Funktion, die zugleich dem Typus \(lu\) und dem Typus \(ul\) angehört, ist der Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen, gehört somit der ersten Klasse der Baireschen Klassifikation an. Es sei \(f(x)\) eine beschränkte Funktion. Das Integral \(\int^b_{\underline{a}} f(x) dx\;(a < b)\) ist die obere Grenze der zwischen \(a\) und \(b\) genommenen Integrale aller nach oben halbstetigen Funktionen \(\leqq f (x)\). Desgleichen ist das Integral \(\int^{\overline{b}}_a f (x) dx\) die untere Grenze der zwischen \(a\) und \(b\) genommenen Integrale aller halbstetigen Funktionen \(\geqq f (x)\).

Subjects:
Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Kapitel 4. Bestimmte Integrale.
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