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The harmonic functions associated with the parabolic cylinder. (English) JFM 41.0531.01
Die von Whittaker für die Funktionen des parabolischen Zylinders abgeleiteten Resultate (s. F. d. M. 34, 520, 1903, JFM 34.0520.01) werden hier nach mehreren Richtungen hin erweitert. Zunächst wird gezeigt, daß man der Differentialgleichung der in Rede stehenden Funktionen: \[ \frac{d^2y}{dz^2} + (n+\frac 12 - \frac {1}{4}z^2)y=0 \] noch durch ein anderes bestimmtes Integral als das bei Whittaker auftretende genügen kann, nämlich durch folgendes: \[ D_n(z)= -\frac{1}{2\pi i}\,e^{-\frac{1}{4}z^2} \int_C \frac{\Gamma (\frac 12t- \frac 12\,n) \Gamma (-t)}{\Gamma (-n)}\,(\sqrt{2})^{t-n-2}z^tdt. \] \(n\) kann dabei reell oder komplex sein; der Integrationsweg \(C\) muß die positive Hälfte der reellen Achse umschließen, darf aber nicht die Pole von \(\Gamma(\frac 12\,t - \frac 12\,n)\) enthalten. Aus dem vorstehenden Ausdruck für \(D_n (z)\) läßt sich einerseits die schon von Whittaker gefundene, nach steigenden Potenzen von \(z\) fortschreitende Reihe ableiten, andererseits eine für große Werte von \(| z|\) geltende asymptotische Darstellung, die verschiedene Formen hat, je nach dem Intervall, in dem \(\text{arg} (z)\) liegt. Weiter werden mittels der neuen Integraldarstellung von \(D_n(z)\) die beiden folgenden bestimmten Integrale ausgewertet: \[ \int e^{(\frac{1}{4}-\alpha)z^2}z^mD_n(z)dz\;\text{und}\;\int z^pD_m(z)D_n(z)dz. \] Der Integrationsweg läuft bei beiden Integralen, aus dem Unendlichen kommend, der positiven reellen Achse parallel, umschließt den Nullpunkt in der Schleife und kehrt ins Unendliche zurück.
Die weitere Untersuchung betrifft die asymptotischen Werte von \(D_n (z)\) für große \(n\), wobei aber \(n\) reell zu nehmen ist, während \(z\) komplex sein kann. Für positive ganze Zahlen ist nach Whittaker \[ D_n(z)=(-1)^n e^{\frac{1}{4}\,z^2} \frac{d^n}{dz^n} (e^{-\frac 12\,z^2}), \] und die asymptotischen Werte dieses Ausdrucks für große \(n\) sind für reelle \(z\) bereits von Adamov ermittelt (vgl. F. d. M. 38, 463, 1907, JFM 38.0463.02). Hier werden die Adamoffschen Resultate dahin erweitert, daß sie einerseits für komplexe \(z\) gelten, andererseits für solche \(D_n (z)\), deren Index \(n\) keine ganze Zahl ist. Den Ausgangspunkt der Untersuchung, auf deren Einzelheiten hier nicht eingegangen werden kann, bildet die Darstellung von \(D_n (z)\) durch ein gewisses reelles, von \(-\infty\) bis \(+\infty\) zu erstreckendes Integral.
Die asymptotische Darstellung von \(D_n (z)\) für große reelle \(n\) wird zum Schluß dazu benutzt, festzustellen, unter welchen Bedingungen die Whittakersche Entwicklung einer willkürlichen Funktion \(f (x)\) in eine Reihe der Form \[ f(x)+\sum^c_{n=0} b_nD_n(x) \] gültig ist.

MSC:
34A34 Nonlinear ordinary differential equations and systems, general theory
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