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The approximate arithmetical solution by finite differences of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam. (English) JFM 41.0871.04

Lond. Roy. Soc. Proc. (A) 83, 335-336 (1910); Phil. Trans. (A) 210, 307-357 (1910).
Der erste, theoretische Teil der Arbeit beschäftigt sich mit Methoden zur angenäherten Lösung von Differentialgleichungen der Physik, indem diese Gleichungen als Differenzengleichungen behandelt werden. Auf einem anderen Wege als in der gegenwärtigen Abhandlung hat der Verf. solche Aufgaben angegriffen in der Arbeit “On a freehand graphic way of determining stream surfaces and equipotentials” (F. d. M. 39, 832, 1908, JFM 39.0832.01). Unter den neueren deutschen Untersuchungen gleicher Richtung steht besonders die Abhandlung von Runge “Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen” (Math. Ann. 46, 167-178; F. d. M. 26, 341, 1895, JFM 26.0341.01) an der Spitze einer Reihe von Arbeiten, die dasselbe Ziel verfolgen. Der Verf. der gegenwärtigen Schrift sagt hierüber: “Analytische Methoden sind die Grundlage des ganzen Gegenstandes, und in der Praxis sind sie die genauesten, wenn sie sich auswirken können; allein bei der Integration partieller Differentialgleichungen im Zusammenhang mit unregelmäßig gestalteten Bändern ist das Feld ihrer Anwendung sehr beschränkt. Sowohl für das Ingenieurwesen, als auch für die weniger exakten Wissenschaften, wie etwa die Biologie, bedarf man schneller Methoden, die leicht verständlich und auf ungewöhnliche Gleichungen und unregelmäßige Körper anwendbar sind. Wenn sie exakt sein können, um so besser; aber ein Prozent dürfte für viele Zwecke genügen. Hoffentlich werden die in dieser Abhandlung vorgeführten Methoden diese Forderung ausreichend erfüllen. Die in eingehender Weise betrachteten Gleichungen sind nur einige der gewöhnlichen, in der mathematischen Physik vorkommenden, nämlich: die Laplacesche Gleichung \(\nabla^2\varphi= 0\), die Oszillationsgleichungen \((\nabla^2+k^2)\varphi= 0\) und \((\Delta^4 -k^4)\varphi = 0\) nebst \(\nabla^4\varphi= 0\). Aber die benutzten Methoden sind nicht auf diese Gleichungen beschränkt.”
Das Verfahren des Verf. ist das der “zentralen Differenzen”; die Rechnungskontrolle besteht in der Wiederholung der Rechnung bei Anwendung kleinerer Differenzen. Nachdem dieses Verfahren auf den ersten 20 Seiten der Arbeit erläutert ist, wird die Untersuchung auf das Problem der Bestimmung der Spannungen in einem aufgemauerten Damm beschränkt, ein Problem, das neuerdings mehrfach behandelt ist, besonders von Karl Pearson (1904 und 1907). Die Rechnungen werden durch Diagramme und Zahlentabellen erläutert; bei der Durchführung der Arbeit ist der Verf. durch eine Anzahl von Mitarbeitern unterstützt worden.
Als ein Nachtrag wird auf S. 351-357 eine Untersuchung über die Eigenschaften der hauptsächlichsten Vibrationsarten gegeben.

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