×

zbMATH — the first resource for mathematics

Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen. (German) JFM 42.0154.02
Unter den Kollineationsgruppen, die der symmetrischen Gruppe \({\mathfrak S}_n\) oder der alternierenden Gruppe \({\mathfrak A}_n\) mit \(n\) Vertauschungsziffern isomorph sind, nehmen diejenigen eine besondere Stellung ein, die sich als Gruppen von \(n!\), bzw. \(\frac{n!}2\) homogenen linearen Substitutionen schreiben lassen. Diese Gruppen haben bereits Frobenius (Berl. Ber. 1900, 516; ebenda 1901, 303 und 1903, 328) und der Verfasser (Inaug.- Dissertation, Berlin 1901 und Berl. Ber. 1908, 664) aufgestellt. Die übrigen in Betracht kommenden Kollineationsgruppen, die mit \({\mathfrak S}_n^{(g)}\), bzw. \({\mathfrak A}_n^{(g)}\) bezeichnet werden, bestimmt der Vef. in der vorliegenden Arbeit.
Für \(n<4\) existieren solche Gruppen überhaupt nicht. Ist aber \(n\geqq4\), so ist die Anzahl der nicht ineinander linear transformierbaren irreduziblen Gruppen \({\mathfrak S}_n^{(g)}\) gleich der Anzahl \(v_n\) der Zerlegungen \[ (\nu)\quad n=\nu_1+\nu_2+\cdots+\nu_m\quad (\nu_1>\nu_2>\cdots>\nu_m>0) \] von \(n\) in voneinander verschiedene ganzzahlige Summanden, und zwar entspricht der Zerlegung \((\nu)\) eine irreduzible Gruppe \({\mathfrak S}_n^{(g)}\) des Grades \[ f_{\nu_1,\nu_2,\dots,\nu_m}=2^{\left[\frac{n- m}2\right]}\frac{n!}{\nu_1!\nu_2\!\dots\nu_m!}\prod_{\alpha<\beta} \frac {\nu_\alpha-\nu_\beta}{\nu_\alpha+\nu_\beta}. \] Hierbei ist unter dem Grad einer Kollineationsgruppe die Anzahl der Variabeln in den zugehörigen homogenen linearen Substitutionen zu verstehen. Die der Zerlegung \(n=n\) entsprechende Gruppe \({\mathfrak S}_n^{(g)}\) des Grades \(f_n=2^{\left[\frac{n-1}2\right]}\) hat bereits Wiman (Math. Ann. 52, 243) angegeben. Für \(n=6\) sind die beiden Gruppen der Grade \(f_n=4\) und \(f_{3,2,1}=4\) als nicht voneinander verschieden anzusehen.
Bei der alternierenden Gruppe ist die Anzahl der wesentlich verschiedenen irreduziblen Gruppen \({\mathfrak A}_n^{(g)}\) für \(n=4\) gleich 1 und für \(n>4\) wie bei der Gruppe \({\mathfrak S}_n\) gleich \(v_n\). Die der Zerlegung \((\nu)\) entsprechende irreduzible Gruppe \({\mathfrak A}_n^{(g)}\) ist, wenn \(n-m\) ungerade ist, vom Grade \(f_{\nu_1,\nu_2,\dots,\nu_m}\) und, wenn \(n-m\) eine gerade Zahl wird, vom Grade \(\frac12f_{\nu_1,\nu_2,\dots,\nu_m}\). Diese allgemeinen Regeln erleiden jedoch eine Ausnahme für \(n=6\) und \(n=7\). Zunächst sind von den \(v_6=4\) eben erwähnten Gruppen \({\mathfrak A}_6^{(g)}\), deren Grade gleich 4, 4, 8, 10 sind, die beiden Gruppen des Grades 4 als identisch anzusehen; außer den übrigbleibenden drei Gruppen gibt es aber noch sechs andere irreduzible Gruppen \({\mathfrak A}_6^{(g)}\) der Grade 3, 6, 6, 9, 12, 15. Für \(n=7\) kommen zu den \(v_7=5\) dem allgemeinen Fall entsprechenden Gruppen noch elf andere irreduzible Gruppen \({\mathfrak A}_7^{(g)}\) der Grade 6, 6, 15, 15, 21, 21, 24, 24, 24, 24, 36 hinzu.
Jede Gruppe \({\mathfrak S}_n^{(g)}\) und \({\mathfrak A}_n^{(g)}\) läßt sich als Gruppe von \(2\cdot n!\), bzw. \(2\cdot\frac{n!}2\) homogenen linearen Substitutionen schreiben. Diese Regel versagt nur für die Gruppen \({\mathfrak A}_6\) und \({\mathfrak A}_7\); hier kann die Mindestanzahl der homogenen Substitutionen, in denen eine Gruppe \({\mathfrak A}_n^{(g)}\,(n=6,7)\) geschrieben werden kann, auch gleich \(3\cdot\frac{n!}2\) oder \(6\cdot\frac{n!}2\) sein.
Diese Resultate gewinnt der Verf., indem er die Darstellungsgruppen von \({\mathfrak S}_n\) und \({\mathfrak A}_n\) bestimmt und die Charaktere dieser Gruppen berechnet.

MSC:
20-XX Group theory and generalizations
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Crelle EuDML