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Un teorema del Minkowski sui sistemi di forme lineari a variabili intere. (Italian) JFM 42.0227.01
Der Minkowskische Satz sagt aus, daß man in einem gegebenen System von linearen Formen mit reellen Koeffizienten \[ \xi_i(x_j)=\sum_ja_{ij}x_j\quad (i,j=1,2,\dots,n) \] und der Determinante \(|a_{ij}|=\pm1\) stets die \(x_j\) als ganze Zahlen, die nicht alle Null sind, bestimmen kann, so daß \(|\xi_i(x_j)|\leqq1\, (j=1,2,\dots,n)\).
Der Verf. betrachtet speziell den Grenzfall, daß stets für wenigstens ein \(i\) das Gleichheitszeichen auftreten muß. Schon Minkowski hatte gezeigt, daß es dann immer eine lineare ganzzahlige unimodulare Substitution der \(x_j\) geben muß, so daß das System der \(\xi_i(x_j)\) in ein System der Form \[ \xi_i^{'}(x_j^{'})=x_i^{'}+\sum_{j>i}b_{ij}x_j^{'} \] übergeführt wird. Zugleich hat Minkowski die Vermutung ausgesprochen, daß dann auch mindestens eine der Formen \(\xi_i(x_j)\) ganzzahlige Koeffizienten haben muß. Die vorliegende Arbeit ist diesem Problem gewidmet. Der Verf. beweist die Richtigkeit der Minkowskischen Vermutung und gibt in den Fällen \(n=2,3,4\) auch für das erste Kriterium einen neuen Beweis.

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References:
[1] Minkowski: a)Geometrie der Zahlen (Leipzig, Teubner, 1896), pp. 104–105.; b)Diophantische Approximationen (Leipzig, Teubner, 1907), pp. 9–28, 68. IlMINKOWSKI ottiene la proposizione coi metodi proprii della suaGeometrie der Zahlen, i quali, ripresi e approfonditi, saranno anche il fondamento del presente lavoro. Dimostrazioni di natura più puramente aritmetica furono date per questa proposizione dall’HiLBERT [cfr.MINKOWSKI, loe. cit. b), pp. 9–18] e dall’PHuRWiTZ Ueber lineare Formen mit ganzzähligen Variabeln [Nachrichten von der Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1897, pp. 139–145], §2
[2] IlMinkowski [loc. cit. 1), a, pag. 105] afferma la proposizione rimandandone la dimostrazione ad uno scritto posteriore: ma più tardi [loc. cit.1), b)], mentre dimostra la proposizione per n = 2 e n = 5, segnala (a pag. 28) la dimostrazione per n qualunque come una questione di notevole difficoltà e di cui sarebbe desiderabile la soluzione. Sia ancora osservato che la proposizione si dimostra facilmente con ragionamento diretto, ed evitando ancora parecchie delle considerazioni geometriche del presente scritto, per n = 4 (cfr. n{\(\deg\)} 25).
[3] Loc. cit. 1), b), pag. 28.
[4] I simboli {\(\lambda\)}, ed in seguito {\(\theta\)}, conservando sempre il significato dei numeri precedenti.
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