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Über das Carathéodorysche Problem, Potenzreihen mit positivem reellen Teil betreffend. (German) JFM 42.0277.03
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit den interessanten Problemen, die C. Carathéodory in den Math. Ann. 64, 96115 [vgl. F. d. M. 38, 448-449, 1907] in Angriff genommen hat, und die seitdem vielfach behandelt worden sind. Es ist dies vor allem das Problem: “Für welche Wertsysteme \(c_1,c_2,\dots,c_n\) gibt es eine Potenzreihe \[ Z=1+\sum_{k=1}^\infty c_kz^k\quad(c_\nu=a_\nu+ib_\nu), \] die für \(|z|<1\) konvergiert und dort einen positiven reellen Teil besitzt?” Carathéodory löst dieses Problem in eleganter Weise durch Betrachtung des kleinsten konvexen Körpers \({\mathfrak R}_{2n}\) im \(2n\)-dimensionalen Raume, der die Kurve mit den Koordinanten \[ 2\cos\vartheta,2\sin\vartheta,2\cos2\vartheta,2\sin2\vartheta, \dots,2\cos n\vartheta,2\sin n\vartheta \] enthält, wobei \(\vartheta\) einen variablen Parameter bedeutet.
Fischer legt sich die Frage vor, ob die den Körper bildende Punktmenge nicht auch ohne Vermittlung von Parametern durch Ungleichungen zwischen den Größen \(a_\nu,b_\nu\) selbst festgelegt werden könne, und beantwortet sie durch den folgenden Satz: Man bilde die quadratische Form von \(n+1\) Variabeln \(u_0,u_1,\dots,u_n\): \[ \varphi=\frac1\pi\int_{-\pi}^{+\pi} S^2(1+a_1\cos\vartheta+b_1\sin\vartheta+\cdots+a_n\cos n\vartheta+ b_n\sin n\vartheta)\,d\vartheta, \] worin zur Abkürzung \[ S=u_0\left(\cos\frac\vartheta2\right)^n+u_1\left(\cos\frac\vartheta 2 \right)^{n1}\sin\frac\vartheta2+\cdots+u_n\left(\sin\frac\vartheta2\right)^n \] gesetzt ist. Dann sind die Wertsysteme des Körpers \({\mathfrak R}_{2n}\) dadurch charakteristiert, daß\(\varphi\geqq0\) ist; seine inneren Punkte speziell durch \(\varphi>0\).
Dieser Satz wird elementar, d. h. algebraisch, bewiesen, und zwar so, daß auch für den Carathéodoryschen Satz selbst ein elementarer Beweis erbacht wird.
Eine andere Formulierung und ein anderer Beweis des Carathéodoryschen Satzes war inzwischen von O. Toeplitz gegeben worden. Am Schlusse seiner Arbeit zeigt E. Fischer, wie sich auch die Toeplitzschen Resultate mit den vorher entwickelten Methoden algebraisch herleiten lassen.
(Seitdem sind die Beweise durch Arbeiten von I. Schur und G. Frobenius, Berl. Ber. 1912, S. 4-31 weiterhin vereinfacht.)

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References:
[1] Vorgetragen in der Sitzung der mathematischen Gesellschaft in Göttingen vom 28. Juni 1910. Eine Mitteilung darüber ist in diesen Rendiconti erschienen Toeplitz,Über die FouRiEr’scheEntwickelung positiver Funktionen [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Bd. XXXII (2. Semester 1911), S. 191–192].
[2] Carathéodory,Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen [Mathematische Annalen, Bd. LXIV (1907), S. 95–115]. · JFM 38.0448.01
[3] Hermite:Remarques sur le théorème de M. Sturm [Comptes rendus hebdomadaires des séances de ľAcadémie des Sciences (Paris), Bd. XXXVI (i. Semester 1853), S. 294–297];Extrait ďune lettre de Mr. Ch. Hermitede Paris à Mr. Borchardtde Berlin sur le nombre des racines ďune équation algébrique comprises entre des limites données [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. LU (1856), S. 39–51];OEuvres de Charles Hermite (Paris, Gauthier-Villars), Bd. I (1905), S. 284–287, 597–414. – Vgl. auch: Netto,Vorlesungen über Algebra (Leipzig, Tcubner), Bd. I (1896), 20te Vorlesung.
[4] Stieltjes,Recherches sur les fractions continues [Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, Ière série, tome VIII (1894), pp. J1-J 122; tome IX (1895), pp. A5-A47]; E. Cosserat,Notice sur les travaux scientifiques de Thomas-Jean Stieltjes [Ibid., Ière série, tome IX (1895), PP-[3][64]];Correspondance ďHermiteet de Stieltjes (Paris, Gauthier-Villars, 1905), Bd. I. Vgl. z. B. S. 336 und fgde, und S. 423.
[5] Eine quadratische Form heisstnicht negativ, wenn sie für reelle Werte der Variablen stets o ist; sie heisstpositiv, wenn sie für reelle Werte der Variablen, das einzige Wertsystem (o, o, ..., o) ausgenommen, stets &gt; o ist (d. i. wenn sie nichtnegativ ist und eine von o verschiedene Determinante hat).
[6] Vgl. auch z. B. Netto, loc. cit. 3), Bd. I, § 234,
[7] In diesem Falle ist (9) zu lesen als:
[8] Man sieht, dass in beiden Fallen der Rang der Form {\(\Psi\)} übereinstimmt [vgl. (16)] mit dem Range der Form {\(\Psi\)} (u{\(\deg\)}, ..., uN, o, ..., o, un). Dies hätte man auch aus einer allgemeinen von Frobenius {Ueberdas Trägheitsgesetz der quadratischen Formen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. CXIV (1895), S. 187–230], § 8} gegebenen Formel für die Signatur “ recurrenter {” Formen entnehmen und sodann zur Abkürzung des obigen Beweises verwenden können.}
[9] In diesem Falle ist (17) zu leseti als:
[10] Auch im Falle R&lt;n kann eine der Grössen s &amp; den Wert {\(\pi\)} erhalten, doch bedarf es dazu keiner besondern Forderung; im Falle R = n hingegen ist eine besondere Forderung deshalb nötig, weil es ausser der Darstellung (9) noch die Darstellung (7) (mit willkürlichem een+1) gibt. Für das Folgende kommt übrigens der Fall R = n nicht in Betracht.
[11] In diesem Falle ist (18) zu lesen als:
[12] In diesem Falle ist (22) zu lesen als:
[13] Also die Koeffizienten hp,q reell sind.
[14] Für n = i z. B. wird diese Transformation:
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